广西南宁市部分地区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-06-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式一定是二次根式的是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $1^{2}$ D、 $\sqrt{- 1}$

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2. 太阳的半径约为369000千米，用科学记数法表示为（）

A、 $0.369 \times$ $1 0^{6}$ B、 $36.9 \times$ $1 0^{4}$ C、 $3.69 \times$ $1 0^{5}$ D、 $369 \times$ $1 0^{3}$

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3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、1、2、3 B、3、4、5 C、7、8、9 D、5、10、20

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4. 下列各式中能与 $\sqrt{2}$ 合并的二次根式是（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ＝1 D、 $\sqrt{4} \div \sqrt{2}$ ＝2

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6. 如图，要使▱ $A B C D$ 成为矩形，需要添加的条件是（）

A、 $∠ A B C = 90 °$ B、 $∠ A B D = ∠ C B D$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A B = B C$

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7. 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则 $\sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 化简后为（）

A、2 B、 $a - 2$ C、 $2 - a$ D、无法确定

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8. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b.若 $a b = 8$ ，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A、9 B、6 C、4 D、3

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9. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点A的坐为 $(0 ， 1)$ ，若 $B C$ 边的长为4，则顶点D的坐标是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(4 ， - 2)$ C、 $(4 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $D C$ 的中点，若菱形 $A B C D$ 的周长为 $16$ ，则OE的长为（）

A、2 B、1 C、4 D、3

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11. 我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（ $C E = 1$ 尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即 $E F = 10$ 尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（ $D F = 5$ 尺），求这个秋千的绳索 $A C$ 有多长？（）

A、12尺 B、 $13.5$ 尺 C、 $14.5$ 尺 D、 $15.5$ 尺

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $20$ ，点 $M$ 在 $D C$ 上，且 $D M = 5$ ， $N$ 是 $A C$ 上的一动点，则 $D N + M N$ 的最小值是（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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二、填空题

13. 若式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围．

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14. 计算 $\sqrt{4}$ 的结果是.

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15. 如图，在▱ $A B C D$ 中，若 $∠ B = 56 °$ ，则 $∠ D =$ 度．

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16. 如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.

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17. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为

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18. 如图，等腰直角三角形 $A B C$ 的两直角边分别为 $1$ ，以斜边 $B C$ 为边作第二个等腰直角三角形 $B C D$ ，再以斜边 $B D$ 为边作第三个等腰直角三角形 $B D E$ ，如此进行下去……记等腰直角三角形 $A B C$ 的直角边长为 $x_{1} = 1$ ，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， \dots \dots x_{n}$ ，则 $x_{2023} =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $(\sqrt{8} + \sqrt{12}) - (2 \sqrt{3} - \sqrt{2})$ ．

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20. 先化简，再求值： $(x + 2) (x - 2) + 3 (1 - x) ，其中 x = \sqrt{2}$ ．

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21. 如图，已知▱ $A B C D$ ，延长 $A B$ 到 $E$ ，使 $B E = A B$ ，连接 $B D$ ， $E D$ ， $E C$ ，若 $E D = A D$ ．

(1)、求证： $B E = C D$ ；

(2)、求证：四边形 $B E C D$ 是矩形．

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22. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ．

(1)、求作： $∠ A C D$ 的平分线 $C E$ ，交 $A B$ 于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、已知 $∠ C A B = 120 °$ ，求 $∠ E C D$ 的度数．

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23. 如图，菱形花坛 $A B C D$ 的边长为 $10 m$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 $A C$ 和 $B D$ ．

(1)、求两条小路 $A C$ 和 $B D$ 的长．（结果保留根号）

(2)、花坛的面积．（结果保留根号）

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24. 如图，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站， $C A$ 和 $C B$ 为供奶路线，现已测得 $A C = 8 k m$ ， $B C = 15 k m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ 1 = 30 °$ ．

(1)、连接 $A B$ ，求两个送奶站之间的距离．

(2)、有一人从点C处出发，沿永定路路边向右行走，速度为 $2.5 k m / h$ ，多长时间后这个人距B送奶站最近？

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25. 观察下列各式及其验算过程：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{2 \times 3 + 2}{3}}$ = $\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{3 \times 8 + 3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{8}}$

(1)、按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ 的变形结果并进行验证．

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

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26. 如图， $在 R t △ A B C 中， ∠ C = 90 ° ， A B = 40 c m ， ∠ A = 30 ° ，$ 点D从点A出发沿 $A B$ 方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，同时点E从点B出发沿 $B C$ 方向以1cm/s的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间为t秒（0<t<20），过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F，连接 $D E$ ， $E F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E F D$ 是平行四边形；

(2)、四边形 $B E F D$ 能成为菱形吗？如果能，求相应的t的值，如果不能，说明理由；

(3)、当t为何值时？ $Δ D E F 为直角三角形$ ．

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