浙江省杭州市萧山区钱江片区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-06-06 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若方程 $x + y + □ z = 1$ 是二元一次方程，则 $□$ 表示的数是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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2. “ $K N 95$ ”表示此类型的口罩能过滤空气中 $95 %$ 的粒径约为 $0.0000003$ 米的非油性颗粒．其中， $0.0000003$ 用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 10^{- 6}$ B、 $3 \times 10^{- 7}$ C、 $0.3 \times 10^{- 6}$ D、 $0.3 \times 10^{- 7}$

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3. 小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $2 a^{2} - a = 2 a$ C、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ D、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$

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4. 若式子 ${(x - 1)}^{0}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 1$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x = 0$

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5. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $12 = 2 \times 2 \times 3$ B、 $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ C、 $(m a + m b) \div m = a + b$ D、 $a^{2} - a - 2 = (a - 2) (a + 1)$

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6. 用加减法解方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 2 ① \\ 2 x - y = - 1 ② \end{array}$ 时，若要求消去 $y$ ，则应（）

A、 $① - ② \times 3$ B、 $② \times 3 - ①$ C、 $① + ② \times 3$ D、 $① \times 2 + ② \times 3$

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7. 若 $a = - {0.1}^{2}$ ， $b = - 3^{2}$ ， $c = {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ ， $d = {(- \frac{1}{3})}^{0}$ ，则它们的大小关系是（）

A、 $a < d < c < b$ B、 $a < b < d < c$ C、 $b < a < d < c$ D、 $c < d < a < b$

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8. 如图，直线 $D E$ 分别交射线 $B A$ ， $B G$ 于点 $D$ ， $F$ ，则下列条件中能判定 $D E / / B C$ 的是（）

$① ∠ A D E = ∠ G B C$ ； $② ∠ D F B = ∠ G B C$ ； $③ ∠ E D B + ∠ A B C = 180 °$ ； $④ ∠ G F E = ∠ G B C$ ．

A、 $① ② ③$ B、 $② ③ ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $③ ④$

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9. 若定义表示 $^{（ 2 x y z ）^{3}}$ ，表示 $- 4 a^{d} c^{b}$ ，则运算 $\div$ 的结果为（）

A、 $- 16 n$ B、 $16 n$ C、 $m n$ D、 $- m n$

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10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（）

A、a B、b C、AD D、AB

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 请你写出一个有一解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 2 \end{array}$ 的二元一次方程：．

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12. $2 x^{3} y^{2}$ 与 $6 x^{4} y$ 的公因式是．

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13. 若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 4 x + m$ 是完全平方式，则常数 $m =$ ．

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14. 若 $(3 x + m) (3 x + n)$ 的结果中不含有 $x$ 项，则 $m$ 、 $n$ 的关系是．

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15. 如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 4 c m$ ， $B C = 5 c m$ ， $A C = 3 c m$ ，将三角形 $A B C$ 沿 $B C$ 方向平移 $a c m (a < 5)$ 得到三角形 $D E F$ ，且 $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，连接 $A D$ ，则阴影部分的周长为 $c m$ ．

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16. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点 $A$ ， $B$ 分别落在 $A'$ ， $B'$ 的位置，再沿 $A D$ 边将 $∠ A'$ 折叠到 $∠ H$ 处，已知 $∠ 1 = 54 °$ ，则 $∠ A E F =$ $°$ ， $∠ F E H =$ $° .$

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = 2 y \\ 3 x - 2 y = 8 \end{array}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ \frac{x - 1}{4} + \frac{y}{2} = \frac{3}{4} \end{array}$ ．

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18.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 2 + {(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ ；

(2)、分解因式： $y (2 a - b) + x (b - 2 a)$ ．

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19.

(1)、化简： ${(a + 1)}^{2} - (a + 2) (a - 2) - a (a - 3)$ ；

(2)、若 $a$ 满足条件 $a^{2} - 5 a + 1 = 0$ ，求 $(1)$ 中代数式的值．

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20. 如图，已知 $A B / / C D$ ，射线 $A F$ 平分 $∠ C D E ， ∠ A = ∠ A G B$ ．

(1)、 $B C$ 与 $D E$ 平行吗？请说明理由；

(2)、 $∠ E D F = 110^{°}$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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21. 观察下列式子，定义一种新运算：
$5 ⊙ 3 = 4 \times 5 + 3$ ； $3 ⊙ (- 1) = 4 \times 3 - 1$ ； $- 4 ⊙ (- 3) = 4 \times (- 4) - 3$ ；

(1)、这种新运算是： $a ⊙ b =$ $($ 用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、如果 $a ⊙ (- 6) = 3 ⊙ a$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a$ ， $b$ 为整数，试判断 $(a ⊙ b - b ⊙ a) ⊙ 3 a$ 是否能被 $3$ 整除．

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22. 下表是某校七年级小朋友小敏这学期第一周和第二周做家务事的时间统计表，已知小敏每次在做家务事中洗碗的时间相同，扫地的时间也相同．

每周做家务总时间（分）
洗碗次数
扫地的次数
第一周
44
2
3
第二周
42
1
4

(1)、求小敏每次洗碗的时间和扫地的时间各是多少?

(2)、为鼓励小敏做家务，小敏的家长准备洗碗一次付12元，扫地一次付8元，总费用不超过100元。请问小敏如何安排洗碗与扫地的次数，既能够让花费的总时间最少，又能够全部拿到100元?

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23.

(1)、经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图 $1$ ，光线 $a$ 从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线 $b$ ，根据光学知识有 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ，请判断光线 $a$ 与光线 $b$ 是否平行？并说明理由．

(2)、光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图 $2$ 有一口井，已知入射光线 $a$ 与水平线 $O C$ 的夹角为 $15 °$ ，问如何放置平面镜 $M N$ ，可使反射光线 $b$ 正好垂直照射到井底？ $($ 即求 $M N$ 与水平线 $O C$ 的夹角 $∠ M O C)$

(3)、如图 $3$ ，直线 $E F$ 上有两点 $A$ 、 $C$ ，分别引两条射线 $A B$ 、 $C D . ∠ B A F = 160 °$ ， $∠ D C F = 80 °$ ，射线 $A B$ 、 $C D$ 分别绕 $A$ 点、 $C$ 点以 $2$ 度 $/$ 秒和 $5$ 度 $/$ 秒的速度同时顺时针转动．设时间为 $t$ ，在射线 $C D$ 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 $C D$ 与 $A B$ 平行？若存在，求出所有满足条件的时间 $t$ ．

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	每周做家务总时间（分）	洗碗次数	扫地的次数
第一周	44	2	3
第二周	42	1	4