广东省珠海市香洲区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2023的相反数是（）

A、2023 B、 $- \frac{1}{2023}$ C、-2023 D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 将 $y = x^{2}$ 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = {(x - 2)}^{2}$

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3. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $130 °$ B、 $140 °$ C、 $150 °$ D、 $160 °$

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4. 圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（）

A、 $25 π$ B、 $20 π$ C、 $15 π$ D、 $12 π$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a^{2} + a^{3} = 3 a^{6}$ B、 $2 a^{2} \cdot 4 a^{3} = 6 a^{5}$ C、 $2 a^{6} \div a^{2} = 2 a^{3}$ D、 ${(2 a b^{2})}^{3} = 8 a^{3} b^{6}$

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6. 若一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 有一根为-1，则另一根为（）

A、5 B、-3 C、4 D、3

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7. 如图，电线杆 $A B$ 的中点 $C$ 处有一标志物，在地面 $D$ 点处测得标志物的仰角为35°，若拉线 $C D$ 的长度是 $a$ 米，则电线杆 $A B$ 的长可表示为（）

A、 $2 a \cdot c o s 3 5^{°}$ 米 B、 $\frac{2 a}{s i n 3 5^{°}}$ 米 C、 $2 a \cdot s i n 3 5^{°}$ 米 D、 $\frac{2 a}{t a n 3 5^{°}}$ 米

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8. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $∠ B = ∠ D E F$ ， $A B = D E$ ，添加一个条件后，仍然不能证明 $△ A B C ≅ △ D E F$ ，这个条件可能是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ B、 $A C ∥ D F$ C、 $B E = C F$ D、 $A C = D F$

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9. 一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度v（单位： $m / s$ ）与时间t（单位：s）的图象如图所示．下列说法错误的是（）

A、小球的初始速度为 $6 m / s$ B、小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动 C、当 $3 \leq t \leq 6$ 时，小球的速度每秒增加 $2 m / s$ D、小球在整个滚动过程中，当 $t = 3$ 时，到达斜坡的最低处

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10. 边长为2的等边三角形 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于H，E为线段 $B H$ 上一动点，连接 $A E$ ． $C D ⊥ A E$ 于点F，分别交 $A B ， A H$ 于点D，G．①当E为 $B H$ 中点时， $A D = A G$ ；② $∠ E F H = 60 °$ ；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④ $B F$ 的最小值 $\sqrt{3} - 1$ ．正确结论是（）

A、②③ B、②④ C、①②④ D、①③④

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二、填空题

11. 足球、篮球、排球，“三大球”单列成为体育中考必考项目之一，考生需任选一项参加考试，甲生选择考排球的概率为．

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12. 一个正数的两个平方根为 $2 a + 1$ 和 $a + 5$ ，则a的值为．

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 > 0 \\ x + 1 \leq 3 \end{array}$ 的解集为．

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14. 如图，已知点A是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $O A = A B = 2 ， ∠ O A B = 120 °$ ，则 $k =$ ．

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15. 我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1， $a^{2} - 1 = a (a - 1) + (a - 1) = (a - 1) (a + 1)$ ．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 $a^{3} - 1 =$ = ．

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三、解答题

16. 计算： ${(\sqrt{5} - 1)}^{0} + 3^{- 1} - | - \frac{1}{3} |$ ．

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17. 先化简，再求值 $(1 + \frac{1}{m - 2}) \div \frac{m^{2} - m}{m - 2}$ ，其中 $m = \sqrt{2}$ ．

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18. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 ° ， A B = A C$ ．用尺规作图，在线段 $A C$ 上作点D，使得 $A D = B D$ （不写作法，保留作图痕迹）．

(1)、如图2，小明的作法是：以点B为圆心， $B C$ 为半径作弧，交 $A C$ 于点D，连接 $B D$ ．请你帮助小明说明这样作图的理由；

(2)、请用另一种作法完成作图．

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19. 某校对初三年级甲班的数学期中考试成绩进行统计．

①甲班所有同学的成绩分布如下：

分组	频数	频率
50≤分数<60	3	0.075
60≤分数<70	a	b
70≤分数<80	6	0.15
80≤分数<90	15	0.375
90≤分数≤100	10	c
合计	40	1

② $80 \leq$ 分数 $< 90$ 的15名同学的成绩：

80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，87，88，88，88，89．

根据以上信息请回答下列问题：

(1)、求出表格中b= ▲ ， c= ▲ ；并补充完整频数分布直方图．

(2)、甲班成绩的中位数为；

80 \leq

分数

< 90

的15名同学成绩的众数为；如果分数大于等于85分定为优秀，请计算出甲班成绩的优秀率为．

(3)、甲班整体平均分估计为多少分？

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20. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点B旋转得到矩形 $B E F H$ ，点E在 $A D$ 上，连接 $C E ， C H$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B E D$ ；

(2)、若 $B C = 4 ， ∠ E B C = 30 °$ ，求 $C H$ 的长度．

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21. 某水果店用1100元购进一批水果，受到消费者的欢迎，于是又用了1100元购进第二批．由于第二批的价格在第一批的基础上提高了10%，所以比第一批的采购量少了2斤．

(1)、求第一批和第二批水果的进价：

(2)、在销售过程中，水果店以每斤80元的价格销售完了第一批水果和第二批水果的 $\frac{3}{5}$ ，为了尽快卖完剩下的水果，决定降价销售．若两批水果的总利润不低于1000元，求降价后的水果每斤售价至少为多少元？

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22. 在平面直角坐标系中 $x O y$ 中，已知抛物线L： $y = x^{2} - 2 x + 2 - m$ 和线段 $A B$ ，其中点 $A (0 ， 1)$ ，点 $B (5 ， 6)$ ，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点．

(1)、求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接 $C D ， D Q ， C Q$ ，求证： $△ C D Q$ 为等腰直角三角形；

(3)、在（2）的条件下，射线 $D Q$ 交x轴于点F，连接 $D A ， B F$ ，四边形 $A B F D$ 是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；

(4)、若抛物线L与线段 $A B$ 只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围．

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23. 小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．

【提出问题】如图所示．球员带球沿直线 $B C$ 奔向球门 $P Q$ ，

探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．

【分析问题】因为线段 $P Q$ 长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．

如图1，射线 $B C$ 与 $⊙ O$ 相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接 $N P ， N Q ， A P ， A Q ， M P ， M Q$ ．

【解决问题】

(1)、如图1，比较 $∠ P M Q 、 ∠ P A Q 、 ∠ P N Q$ 的大小：（用“<”连接起来）．

(2)、如图2，点A是射线 $B C$ 上一动点（点A不与点B重合）．证明：当 $△ A P Q$ 的外接圆 $⊙ O$ 与射线 $B C$ 相切时， $∠ P A Q$ 最大．

(3)、【延伸拓展】在（2）的条件下，如果 $P Q = 4 ， P B = 5 ， t a n B = 2$ ．当 $∠ P A Q$ 最大时．证明： $∠ P A Q = 90 ° - ∠ B$ ．

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