广东省深圳市福田区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，数轴上点 $A$ 表示的数的相反数是（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、2 D、3

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2. 如图，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为66000m² ， 66000用科学记数法可以表示成（）

A、66×10³ B、6.6×10⁴ C、6.6×10³ D、0.66×10⁵

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ - 2 x \leq 2 \end{array}$ 的解集是（）

A、 $x > 0$ B、 $x > 2$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x \leq - 1$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{6} = a^{12}$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $(- 2 a^{2})^{3} = - 8 a^{6}$ D、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$

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6. 观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（）

A、8，8，8 B、7，8，7.8 C、8，8，8.7 D、8，8，8.4

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8. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、2

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9. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 7 x + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，点D在斜边 $A B$ 上，以 $B D$ 为直径的 $⊙ O$ 经过边 $A C$ 上的点E，连接 $B E$ ，且 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3， $A D = 2$ ，则线段 $B C$ 的长为（）

A、 $\frac{40}{3}$ B、8 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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二、填空题

11. 因式分解：a³－a=.

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12. 一个不透明的袋中装有2个红球和4个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是．

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13. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路 $A B ∥ C D$ ，道路 $C D$ 与 $D F$ 的夹角 $∠ C D F = 54 °$ ．城市规划部门想新修一条道路BF，要求 $B E = E F$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，将菱形 $A B C D$ 向右平移一定距离后，顶点C，D恰好均落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ， $x ＞ 0$ ）的图象上，其中点 $A (- 6 ， 6)$ ， $B (- 3 ， 2)$ ，且 $A D ∥ x$ 轴，则 $k =$ ．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点M，N分别在边 $B C 、 C D$ 上，且 $∠ M O N = 90 °$ ，连接 $M N$ 交 $O C$ 于P，若 $B M = 2$ ，则 $O P \cdot O C =$ ．

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三、解答题

16. 计算：
${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{12} - (- 2023)^{0} + 6 t a n 3 0^{°}$

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17. 先化简，再求值： $\frac{4 a}{a^{2} + 4 a + 4} \div \frac{a^{2} - 2 a}{a^{2} - 4} - \frac{2}{a + 2}$ ，其中a＝3．

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18. “读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”．近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校．为了解今年福田区

15000

名初三学生的每天平均课外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

组别	时间（小时）	频数（人数）	频率
A	$0 \leq t ＜ 0.5$	40	0.1
B	$0.5 \leq t ＜ 1$	a	0.3
C	$1 \leq t ＜ 1.5$	140	b
D	$1.5 \leq t ＜ 2$	80	0.2
E	$2 \leq t ＜ 2.5$	20	0.05

(1)、表中的

a =

，

b =

；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有多少人？

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19. 为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了50%，用1800元购买紫花风树苗的棵数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵．

(1)、问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？

(2)、现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？

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20. 如图，已知抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + h$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点E是线段 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．

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21. 【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450个．位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图1所示．
如图2所示，现把海岸线近似看作直线m，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作 $A B$ ，经测量， $A B$ 的长可近似为 $250 π$ 海里，它所对的圆心角 $(∠ A O B)$ 的大小可近似为 $90 °$ ． (注： $A B$ 在m上的正投影为图中线段 $C D$ ，点O在m上的正投影落在线段 $C D$ 上．)

(1)、求 $\overset{⌢}{A B}$ 的半径r；

(2)、因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水．为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘 $A B$ 的距离最近(即要求补给站与 $\overset{⌢}{A B}$ 上的任意一点，两点之间的距离取得最小值)；请你依据所学几何知识，在图2中画出补给站位置及最短运输路线(保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明)．

(3)、如图3，若测得 $A C$ 长为600海里， $B D$ 长为500海里，试求出（2）中的最小距离．

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22. 【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率 $(S c o p)$ ．如图1，在 $△ X Y Z$ 中， $X Y = X Z$ ，顶角 $X$ 的张率记作 $S c o p ∠ X =$ 底边 $\div$ 腰 $= \frac{Y Z}{X Y}$ ．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义 $∠ α$ $(0 ° < ∠ α < 180 °)$ 的张率，例如， $S c o p 60 ° = 1$ ， $S c o p 90 ° = \sqrt{2}$ ，请根据材料，完成以下问题：
如图2， $P$ 是线段 $A B$ 上的一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $C$ ， $D$ 分别是线段 $A P$ ， $B P$ 的中点，以 $A C$ ， $C D$ ， $D B$ 为边分别在 $A B$ 的同侧作等边三角形 $△ A C E$ ， $△ C D F$ ， $△ D B G$ ，连接 $P E$ 和 $P G$ ．

(1)、【理解应用】①若等边三角形 $△ A C E$ ， $△ C D F$ ， $△ D B G$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三者之间的关系为；
② $S c o p ∠ E P G =$ ；

(2)、【猜想证明】如图3，连接 $E F$ ， $F G$ ，猜想 $S c o p ∠ E F G$ 的值是多少，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图4，连接 $E F$ ， $E G$ ，若 $A B = 12$ ， $E F = 2 \sqrt{7}$ ，则 $△ E P G$ 的周长是多少？此时 $A P$ 的长为多少？（可直接写出上述两个结果）

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