广东省江门市2023年中考三模数学试卷

试卷更新日期：2023-06-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若 $- 2 a = 1$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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2. 2021年11月6日，台积电宣称2025年将量产2纳米芯片，2纳米就是0.000000002米，数据0.000000002用科学记数法表示是（）

A、 $2 \times 1 0^{9}$ B、 $2 \times 1 0^{- 9}$ C、 $0.2 \times 1 0^{- 8}$ D、 $2 \times 1 0^{- 8}$

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3. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a + 4 b = 12 a b$ B、 ${(- a - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ C、 $\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $b^{2} \div b = 1$

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5. 已知直线 $M N ∥ P Q$ ，将一块含 $45 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 按如图方式放置，其中直角顶点 $A$ 在直线 $M N$ 上，斜边 $B C$ 与直线 $P Q$ 交于 $B C$ 的中点 $D$ ，连接 $A D$ ．若 $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ N A D$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $65 °$ C、 $45 °$ D、 $75 °$

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6. 对于反比例函数 $y = \frac{2022}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象经过点 $(- 1 ， 2022)$ B、图象位于第二、第四象限 C、该函数与坐标轴不可能有交点 D、当 $x < 0$ 时，随x的增大而增大

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7. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜2 B、m≤2 C、m＜2且m≠1 D、m≤2且m≠1

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8. 一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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9. 如图，在直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，当 $A^{'}$ 恰好第一次落在线段 $O D$ 上时， $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{21}}{7} ， \frac{2 \sqrt{7}}{7})$

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10. 如图1，正方形ABCD中，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向匀速运动到点D停止，设点P的运动路程为x， $P A - P C = y$ ，图2是点P运动时y随x变化的关系图像，根据图中的数据， $a =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 在函数 $y = \frac{x - 2022}{2022}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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12. 已知x满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > - 4 \\ \frac{x}{2} - 1 \leq 3 - \frac{3}{2} x \end{array}$ ，则该不等式组的整数解的个数为．

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13. 有背面完全相同，正面写有“十九届六中全会”字样的卡片n张，“元宇宙”字样的卡片4张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，从中随机抽取一张，若抽中“十九届六中全会”字样的卡片的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则 $n =$ ．

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14. 如图，已知扇形 $A O B$ ，点C为 $O A$ 中点，点D在弧 $A B$ 上，将扇形沿直线 $C D$ 折叠，点A恰好落在点O，若 $∠ A O B = 120 °$ ， $O A = 4$ ，则图中阴影部分的面积是．

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15. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ 为边 $A B$ 上一个动点，连接 $D E$ ，点 $A$ 关于直线 $D E$ 的对称点为点 $F$ ，分别连接 $D F$ ， $E F$ ，当 $E F ⊥ A C$ 时， $A E$ 的长为．

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三、解答题

16. 先化简 $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1}$ ，然后从 $- 1 \leq x \leq 2$ 的范围内选一个你喜欢的整数作为 $x$ 的值代入求值.

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17. 为丰富师生的校园文化生活，激发师生热爱体育运动的兴趣，增强师生体质，营造奋进、和谐的校园氛围，

2021

年

11

月

12

日，商丘市梁园区某校举行了“趣味十一月”神采飞扬跳绳比赛活动．该校七年级采用随机抽签的方式选出了部分同学，并对这些同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：

等级	次数	频数
不合格	$100 \leq x < 120$	$4$
合格	$120 ≤ x < 140$	$a$
良好	$140 ≤ x < 160$	$12$
优秀	$160 ≤ x < 180$	$10$

请结合上述信息解决下列问题：

(1)、本次随机抽签的样本容量是；

a =

；

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、在扇形统计图中，“不合格”等级对应的圆心角的度数是；

(4)、若该校有2800名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C 、 B C$ 于点M、N，交 $A B$ 于点D、F（D、F可重合），过点N作 $N E ⊥ A B$ ，垂足为E．

(1)、求证： $B N = C N$ ；

(2)、①当 $∠ D C A$ 的度数为时，四边形 $D E N O$ 为正方形；
②当 $∠ D C A$ 的度数为时，四边形 $A F O M$ 为菱形．

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19. 如图，小明为测量宣传牌的高度 $A B$ ，他站在距离建筑楼底部 $E$ 处6米远的地面 $C$ 处，测得宣传牌的底部 $B$ 的仰角为 $60 °$ ．同时测得建筑楼窗户 $D$ 处的仰角为 $30 °$ （ $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上）．然后，小明沿坡度为 $i = 1 ： 2.5$ 的斜坡从 $C$ 走到 $F$ 处，此时 $D F$ 正好与地面 $C E$ 平行，若小明在 $F$ 处又测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求宣传牌的高度 $A B$ ．（结果精确到 $0.1$ 米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级.红星塑料有限公司经过市场研究购进一批 $A$ 型可降解聚乳酸吸管和一批 $B$ 型可降解纸吸管生产设备.已知购买5台 $A$ 型设备和3台 $B$ 型设备共需130万元，购买1台 $A$ 型设备的费用恰好可购买2台 $B$ 型设备.

(1)、求两种设备的价格；

(2)、市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如 $y_{1}$ 所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如 $y_{2}$ 所示）.
① $y_{1}$ 的解析式为；

$y_{2}$ 的解析式为.

②当销售量（ $x$ ）满足条件时，该公司盈利（即收入大于成本）.

(3)、由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中 $A$ 型设备每天生产量为1.2吨， $B$ 型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出.为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出 $A$ 型设备至少需要购进多少台？

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21. 如图，半圆O中， $A B = 8 c m$ ，点M为 $A B$ 上一点， $A M = 6 c m$ ，点P为半圆上一个动点，连接 $P M 、 A P$ ，过点A作 $A N ⊥ P M$ ，垂足为N．小明根据学习函数的经验，对线段 $A P 、 A N 、 N M$ 的长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、设 $A P$ 的长度为 $x c m$ ， $A N$ 的长度为 $y_{1} c m$ ， $N M$ 的长度为 $y_{2} c m$ ，对于点P在半圆O上的不同位置，通过画图、测量，得到了线段 $A P 、 A N 、 N M$ 的长度的几组值，如下表：
$x$ /cm
0
1
2
3
4
5
6
7
7.5
7.64
7.78
7.90
8
$y_{1}$ /cm
0
0.99
1.99
2.97
3.92
4.82
5.61
5.90
5.56
5.18
4.46
3.30
0
$y_{2}$ /cm
6
5.91
5.65
5.21
4.53
3.56
2.12
0.24
2.25
3.01
4.0
5.00
6
请计算，当 $P M ⊥ A B$ 时， $A P =$ $c m$ ；

(2)、利用表格中的数据，在如平面直角坐标系 $x O y$ 中画出（1）中所确定的函数 $y_{2}$ 关于x的函数图象；

(3)、观察函数图象分别写出函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的一条性质；

(4)、当 $△ A N M$ 等腰三角形时：
①通过计算可知： $A N = N M =$ $c m$ ；

②通过进一步探究函数图象可知： $A P$ 长度的近似值为 $c m$ ．（保留一位小数）

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22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = m x + n$ 与坐标轴交于 $A ， B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $O A = O B = 2 O C$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A ， B ， C$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、根据图象写出不等式 $a x^{2} + (b - m) x + 2 < n$ 的解集；

(3)、点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $A B$ 的垂线段，垂足为 $Q$ ，当 $P Q = \frac{\sqrt{2}}{2}$
时，求 $P$ 点的坐标．

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23. 如图①，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $∠ B A D = α (0 ° < α < 180 °)$ ，连接 $A C$ ，点 $Q$ 在 $A D$ 上的一点，连接 $B Q$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ A D$ 于点 $G$ ，连接 $D E$ ．

(1)、当 $α = 60 °$ 且 $\frac{D Q}{A Q} = \frac{1}{2}$ 时， $\frac{D E}{E Q} =$ ， $D G =$ ；

(2)、当 $\frac{D Q}{A Q} = 1$ 时，若 $S_{菱形 A B C D} = 50$ 时．求 $D G$ 的长度；

(3)、当 $\frac{D Q}{A Q} = 1$ 时，如图②，分别以点 $E$ ， $A$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ $A E$ 的长为半径画弧．交于点 $F$ 和 $H$ ，作直线 $F H$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 于点 $P$ ， $N$ ， $M$ ，请你判断点 $M$ 的位置是否变化？若不变，求 $A M$ 的长；若变化说明理由．

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$x$ /cm	0	1	2	3	4	5	6	7	7.5	7.64	7.78	7.90	8
$y_{1}$ /cm	0	0.99	1.99	2.97	3.92	4.82	5.61	5.90	5.56	5.18	4.46	3.30	0
$y_{2}$ /cm	6	5.91	5.65	5.21	4.53	3.56	2.12	0.24	2.25	3.01	4.0	5.00	6