浙江省强基联盟2023届高三下学期数学仿真模拟(二)试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 3}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} \geq \frac{1}{8}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 $[1 ， 8]$ B、 $(0 ， 8]$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[3 ， 8]$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $z = {(x + y i)}^{2}$ ， $x ， y \in R$ ，则“ $x = y = 1$ ”是“ $| z | = 2$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树A，B之间的距离．从B处沿直线走了 $100 m$ 到达C处，测得 $∠ B A C = 15 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，则 $A B =$ （）．

A、 $100 (\sqrt{3} + 1) m$ B、 $50 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) m$ C、 $100 (\sqrt{3} - 1) m$ D、 $50 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) m$

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4. 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机地取3个不同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为（）．

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2)$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在单位向量 $\vec{c}$ 上的投影向量分别为 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，且 $\vec{n} = 2 \vec{m}$ ，则 $\vec{c}$ 可以是（）．

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- \frac{\sqrt{10}}{10} ， - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ D、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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6. 中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 均与曲池的底面 $A B C D$ 垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为 $90 °$ ，则图中四面体 $A C B_{1} D_{1}$ 的体积为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ， $f (x) + f (\frac{4 π}{3} - x) = 0$ ， $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）．

A、3 B、5 C、6 D、7

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8. 下列不等式正确的是（）．（其中 $e \approx 2.718$ 为自然对数的底数， $π \approx 3.14$ ）

A、 $l o g_{2} 7 < l o g_{3} 8$ B、 $π l n \frac{π}{3} < π - 3$ C、 $l o g_{5} 2 > \frac{2}{5}$ D、 $l n \frac{5}{4} > \frac{9}{40}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知 $s i n α < s i n β$ ，则下列命题中成立的是（）．

A、若 $α$ ， $β$ 是第一象限角，则 $c o s α < c o s β$ B、若 $α$ ， $β$ 是第二象限角，则 $c o s α < c o s β$ C、若 $α$ ， $β$ 是第三象限角，则 $t a n α < t a n β$ D、若 $α$ ， $β$ 是第四象限角，则 $t a n α < t a n β$

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10. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（）．

A、中位数是3，众数是2 B、平均数是4，中位数是5 C、极差是4，平均数是2 D、平均数是4，众数是5

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11. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过抛物线焦点 $F$ 的直线 $l$ 自上而下，分别交抛物线与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 于 $A ， C ， D ， B$ 四点，则（）．

A、 $| A C | \cdot | B D | = 1$ B、 $| O A | \cdot | O B | \geq 5$ C、 $| A B | \cdot | A F | \geq 8$ D、 $4 | A F | + | B F | \geq 18$

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12. 若定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的是（）．

A、若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- 1 ， 1)$ ， $x_{2} > | x_{1} |$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ B、若 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{40}{41}) = - 2$ C、若 $f (2 - x) + g (x) = 4$ ，则 $g (x)$ 的图像关于点 $(2 ， 4)$ 对称 D、若 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，则 $f (s i n 2 α) > 2 f (s i n α)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 $f (x) = c o s x - s i n x$ 的图象在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为．

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14. 已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ ，设 ${(x - 2)}^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} =$ ．

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15. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，若直线 $y = k (x - 3)$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为．

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，O为坐标原点，直线l是曲线C的切线， $H_{1}$ ， $H_{2}$ 分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在切线l上的射影，则 $△ O H_{1} H_{2}$ 面积的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $2 a s i n A = (2 b - c) s i n B + c (2 s i n C - s i n B)$ ．

(1)、求A；

(2)、点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C$ ， $A D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得 $m (0 < m \leq 100 ， m \in N)$ 分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得 $n (0 < n \leq 100 ， n \in N)$ 分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为 $p_{1}$ ，能正确回答B类问题的概率为 $p_{2}$ ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

(1)、若学生甲先回答A类问题， $m = 20$ ， $n = 80$ ， $p_{1} = 0.8$ ， $p_{2} = 0.6$ ，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．

(2)、从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．① $m = n$ ， $p_{1} > p_{2}$ ；② $p_{1} = p_{2}$ ， $m > n$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} + 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、保持 ${a_{n}}$ 中各项先后顺序不变，在 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1}$ 之间插入 $k$ 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ 的值（用数字作答）．

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥ B P$ ， $A P ⊥ C P$ ， $∠ B C P = 45 °$ ， $A P = B P = C P$ ．

(1)、证明： $C P ⊥$ 平面 $A B P$ ；

(2)、点E，F分别位于线段 $A B$ ， $P C$ 上（不含端点），连接 $E F$ ，若 $\frac{A E}{E B} = \frac{P F}{F C} = k$ ，直线EF与平面 $A B C$ 所成的角为 $30 °$ ，求k的值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且经过点 $M (2 ， 0)$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2)、已知过点 $G (x_{1} ， y_{1})$ 的直线 $l_{1} ： x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $H (x_{2} ， y_{2}) (x_{2} \neq x_{1})$ 的直线 $l_{2} ： x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点N在双曲线C上，直线 $G H$ 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 $4 {| O N |}^{2} - {| O P |}^{2} - {| O Q |}^{2}$ 为定值，并求出定值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + x}$ ， $g (x) = a s i n x - x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点，求实数a的取值范围．

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