浙江省钱塘联盟2022-2023学年高一下学期期中数学联考试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x ∣ y = \sqrt{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 设 $α ， β$ 为两个不同的平面， $l ， m$ 为两条不同的直线，且 $l \subset α ， m \subset β$ ，则“ $α ∥ β$ ”是“ $l ∥ m$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知圆锥的表面积为 $27 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4} \vec{b}$

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5. 若 $a = \frac{3}{4}$ ， $b = 4^{\frac{1}{3}}$ ， $c = l o g_{4} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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6. 已知 $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + 2 c o s^{2} (\frac{π}{2} + α)}{1 - t a n (π - α)}$ 的值为（）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $- \frac{18}{25}$ D、 $\frac{18}{25}$

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7. 龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高 $15 c m$ ，盆口直径 $36 c m$ ，盆底直径 $18 c m$ .现往盆内倒入水，当水深 $5 c m$ 时，盆内水的体积近似为（）

A、 $\frac{1505 π}{3} c m^{3}$ B、 $\frac{1665 π}{3} c m^{3}$ C、 $\frac{1835 π}{3} c m^{3}$ D、 $\frac{2205 π}{3} c m^{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l g | x - 1 | | ， x \neq 1 \\ 0 ， x = 1 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x)) + m (m \in R)$ 零点个数最多是（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则（）

A、 $| z | = 1$ B、 $z^{2} = 2 i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $1 + i$ D、 $z$ 的实部为1

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10. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $A = 6 0^{∘} ， a = \sqrt{3}$ 则 $△ A B C$ 外接圆的半径等于1 B、若 $c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{b + c}{2 c}$ ，则此三角形为直角三角形 C、若 $a = 3 ， b = 4 ， B = \frac{π}{6}$ ，则解此三角形必有两解 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $s i n A + s i n B > c o s A + c o s B$

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11. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $b + \frac{1}{2 a} = 1$ ，则（）

A、 $0 < b < 1$ B、 $a + b > 1$ C、 $a - 2 b$ 的最小值为0 D、 $a + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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12. 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为2.下列说法正确的是（）

A、每一个截角四面体共有18条棱，12个顶点 B、该截角四面体的表面积为 $28 \sqrt{3}$ C、该截角四面体的体积为 $15 \sqrt{2}$ D、该截角四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{22}}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 $A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为.

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14. 若直线 $a$ 不平行平面 $α$ ，则以下命题成立的是.
① $α$ 内的所有直线都与 $a$ 异面；

② $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线；

③ $α$ 内直线都与 $a$ 相交；

④直线 $a$ 与平面 $α$ 有公共点.

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15. 多面体 $E - A B C D$ 的各顶点在半径为2的球面上， $A B C D$ 是矩形， $A B = 3 ， A D = 2$ ，则多面体体积的最大值为.

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16. 如图，设 $△ A B C$ 中的角 $A ， B ， C$ 所对的边是 $a ， b ， c$ ，已知 $A B = 1 ， A C = 3 ， \vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，点 $E ， F$ 分别为边 $A B ， A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，且 $S_{△ A E F} = \frac{1}{6} S_{△ A B C}$ ，若 $\vec{A G} = \frac{4}{11} \vec{A D}$ ，则 $| \vec{E F} | =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， \vec{b} = (1 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 对边分别为 $a ， b ， c$ ，设 $(s i n B - s i n C)^{2} = s i n^{2} A - s i n B s i n C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 6 ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 2$ ， $E ， F$ 分别是棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 的中点，设 $P$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上一动点.

(1)、证明： $P E$ //平面 $B D F$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B D F$ 的体积.

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20. 已知 $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{O M} = (2 s i n^{2} x ， - 1)$ ， $\vec{O N} = (1 ， 1 - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x)$ ，设 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O N}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 单调递增区间；

(2)、在锐角三角形 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的取值范围．

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21. 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度 $y$ （单位：毫克/立方米）随着时间 $x$ （单位：天）变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{array}{l} 1 + \frac{x}{8} ， 0 < x \leq 4 \\ \frac{9}{x + 2} ， 4 < x \leq 10 \end{array}$ ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

(1)、若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

(2)、若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 $a (1 \leq a \leq 4)$ 个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求 $a$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (9^{x} + 1) - k x$ （其中 $k \in R$ ）.

(1)、若 $k = 2$ 且方程 $f (x) - a + 1 = 0$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，讨论函数 $g (x) = (3 k)^{f (x)} - (m \cdot 3^{x} - \frac{4}{3} m) (m > 0)$ 的零点情况.

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