浙江省杭师大附2022-2023学年高二下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：期中考试

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一、单项选择（共8题，每小题5分；满分40分）

1. “ $a_{3} + a_{9} = 2 a_{6}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则它的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{16})$ B、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

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3. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 $\underset{x \to 0}{l i m} \frac{e^{x} - 1}{x} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{{(e^{x} - 1)}^{^{'}}}{x^{^{'}}} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{e^{x}}{1} = 1$ ，则 $\underset{x \to 1}{l i m} \frac{l n x + x - 1}{x^{2} + x - 2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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4. 2022年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有（）种

A、72 B、144 C、36 D、108

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5. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $R$ 上的导数存在，且 $f^{'} (x) > g^{'} (x)$ ，则当 $x \in (a ， b)$ 时（）

A、 $f (x) < g (x)$ B、 $f (x) > g (x)$ C、 $f (x) + g (b) < g (x) + f (b)$ D、 $f (x) + g (a) > g (x) + f (a)$

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6. 若 $7^{a} = 5$ ， $8^{b} = 6$ ， $e^{\frac{2}{c}} = 2 + e^{2}$ ，则实数a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B P C = \frac{π}{2}$ ．若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球体积的取值范围是 $(\frac{32 π}{9 \sqrt{3}} ， \frac{32 π}{3})$ ，则 $∠ B A C$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3})$ B、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3})$

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8. 过抛物线 $Γ ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ ， $l_{1}$ 与 $Γ$ 相交于点 $A ， B$ ， $l_{2}$ 与 $Γ$ 相交于点 $C ， D$ ．分别以 $A B$ 、 $C D$ 为直径的圆 $M$ 、圆 $N$ （ $M ， N$ 为圆心）的公共弦记为 $l$ ，则点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{5}}{20}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{20}$ C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{22}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{22}$

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二、多项选择（共4题，每小题5分；满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列命题中正确的是（）

A、已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的 $50 %$ 分位数是7.5 B、样本相关系数 $r$ 的绝对值 $| r |$ 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强 C、已知随机变量 $X ~ B (10 ， \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = \frac{5}{2}$ D、已知经验回归方程 $\hat{y} = - 2 x + 3$ ，则y与x具有负线性相关关系

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10. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $B_{1} B$ 的中点，若点 $P$ 在线段 $E F$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A、 $A C_{1}$ 与 $E F$ 为共面直线 B、平面 $A C D_{1}$ ∥平面 $E F G$ C、三棱锥 $P - A D_{1} C$ 的体积为定值 D、 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交C的右支于点A，B，若 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = {\vec{F_{1} B}}^{2} = \frac{3}{5} | \vec{F_{1} A} | | \vec{F_{1} B} |$ ，则（）

A、 $A B ⊥ B F_{1}$ B、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ C、 $| A F_{2} | = | B F_{1} |$ D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 与 $△ B F_{1} F_{2}$ 面积之比为2∶1

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{i} = 1$ 或 $a_{i} = 2$ 的概率均为 $\frac{1}{2} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ .设 $S_{n}$ 能被3整除的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = 1$ B、 $P_{3} = \frac{1}{4}$ C、 $P_{11} = \frac{341}{1024}$ D、当 $n \geq 5$ 时， $P_{n} < \frac{1}{3}$

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三、填空题（共4题，每小题5分：满分20分）

13. 已知随机变量 $X ~ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.3$ ，则 $P (1 < X < 2) =$ ．

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14. $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 + x)^{6}$ 展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为．

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15. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为．

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16. 若函数 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且满足 $f (0) = 1 ， 3 f (x) = f^{'} (x) - 3$ ，则不等式 $4 f (x) > f^{'} (x)$ 的解集为.

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四、解答题（共6题，满分70分）

17. $S_{n}$ 为数列{ $a_{n}$ }的前 $n$ 项和.已知 $a_{n}$ ＞0， $a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ = $4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求{ $a_{n}$ }的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ,求数列{ $b_{n}$ }的前 $n$ 项和.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 6 x - a$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．

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19. 杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆．每年樱花季，在樱花树下流连超10小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：

	樱花迷	非樱花迷	合计
男	20		26
女		14
合计			50

附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、补全

2 \times 2

列联表，根据小概率值

α = 0.01

的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？

(2)、现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形， $A B ⊥ A C$ 且 $A B = A C = 2 ， D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = B_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A C_{1}$ $/ /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} C$ 与平面 $A A_{1} D$ 的夹角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若过点 $P (n ， 0) (n < - 2)$ 的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线 $B F$ 上，求n的值及 $△ F A B$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x - 1$ ．

(1)、讨论函数的单调性；

(2)、若 $g (x) = x + e^{a x} \cdot f (x) (a > 0)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， (0 < x_{1} < x_{2})$ ，不等式 $x_{1} \cdot x_{2}^{2} > e^{m}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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