浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $∁_{U}$ $(A ∩ B) =$ （）

A、 ${- 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 设i为虚数单位，复数z满足 $(1 + i) z = - 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z}$ 为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，已知 $p ： A = B ， q ： s i n A = s i n B$ ，则 $p 是 q$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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4. 已知， $a = l o g_{3} \sqrt{3}$ ， $b = l o g_{4} \sqrt{3}$ ， $c = 0 . 3^{- 1}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，且 $2 c o s B s i n C = s i n A$ ，则该三角形的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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7. 已知图中正六边形 $A B C D E F$ 的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动， $M N$ 为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[26 ， 35]$ B、 $[24 ， 33]$ C、 $[25 ， 35]$ D、 $[23 ， 32]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + 1)$ 为奇函数，且对 $\forall x \in R ， f (x + 4) = f (- x)$ 恒成立．则以下结论：① $f (x)$ 为偶函数；② $f (3) = 0$ ；③ $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{5}{2})$ ；④ $f (2023) = 0$ 其中正确的为（）

A、①②④ B、②③ C、②③④ D、①③④

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二、多选题

9. 已知实数 $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a b > c d$ B、 $a + c > b + d$ C、 $a d^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{1}{b c} < \frac{1}{a d}$

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10. 下列各式中正确的是（）

A、 $t a n \frac{3 π}{5} < t a n \frac{π}{5}$ B、 $t a n 2 > t a n 3$ C、 $c o s (- \frac{17 π}{4}) > c o s (- \frac{23 π}{5})$ D、 $s i n (- \frac{π}{18}) < s i n (- \frac{π}{10})$

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三、单选题

11. 对于任意两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则存在唯一的实数 $k$ ，使 $\vec{a} = k \vec{c}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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四、多选题

12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $(s i n A + s i n B) ： (s i n B + s i n C) ： (s i n C + s i n A) = 9 ： 11 ： 10$ ，则下列结论正确的的是（）

A、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ B、 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的2倍 D、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{7}}{8}$

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五、填空题

13. 已知扇形的面积为 $10 c m^{2}$ ，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为cm．

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14. 复数 $2 + i$ 与复数 $3 - i$ 在复平面上对应点分别是A，B，则 $t a n ∠ A O B =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{16} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3 ， x \leq 0 \\ l o {g_{a}}^{x} ， x > 0 \end{array}$ ，当函数 $y = f (x) + a$ 有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是．

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16. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为.

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六、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} + m - 6) + (m^{2} + m - 2) i$ ， $(m \in R)$ ，在复平面内所对应的点为A.

(1)、若复数 $z - 2 m$ 为纯虚数，求实数m的值；

(2)、若点A在第二象限，求实数m的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ， $b c o s \frac{A}{2} = a s i n B$ ， $B C = 3$ ，如图所示，点D在线段AC上，满足 $A B = A D$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $B D = 2 C D$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ ， $(ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ， $f (x)$ 的图象相邻两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上的单调递增区间.

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20. 如图，A，B是某海城位于南北方向相距 $30 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于A点北偏东 $45 °$ ， B点南偏东 $30 °$ 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)、求B，C两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据： $c o s 21.79 ° = 0.93$ ，角度精确到0.01）

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21. 在平面直角坐标系中，已知 $A (n ， \frac{2}{n}) ， B (8 - m ， 8 - \frac{3}{2} m) ， C (7 - m ， 0) ， n ， m \in R ， n \neq 0$ .

(1)、若 $m = 4$ ， P为x轴上的一动点，点 $A^{'} (2 ， - 4)$ ，当 $A^{'} ， P ， B$ 三点共线时，求点P的坐标；

(2)、若 $n = s i n θ ， θ \in (0 ， π)$ ，且 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角 $α \in [0 ， \frac{π}{2})$ ，求m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} - 5 (x > 0)$

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递减；

(2)、讨论关于x的方程 $| f (x) | = k (k \in R)$ 的实数解的个数．

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