广东省深圳市2022-2023学年高一下学期期中数学联考试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设向量 $\vec{A B} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{A C} = (1 ， - 2)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(4 ， - 4)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(- 4 ， 4)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位， $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A = 30 °$ ， $B = 45 °$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 要得到函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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5. 用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．已知点 $O^{'}$ 是斜边 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 2$ ，则△ABC的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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6. 已知非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°， $| \vec{a} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + λ \vec{b} |$ （ $λ \in R$ ）的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s C$ ， $a = 1$ ， $b = 4$ ，则 $c =$ （）.

A、2 B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 4$ ， $D C = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $∠ D A B = 45 °$ ，点E在线段 $B D$ 上，点F在线段 $A C$ 上，且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{3} \vec{C A}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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二、多选题

9. 若直线 $a$ 不平行于平面 $α$ ，则下列结论不成立的是（）

A、 $α$ 内所有的直线都与 $a$ 异面 B、 $α$ 内不存在与 $a$ 平行的直线 C、 $α$ 内所有的直线都与 $a$ 相交 D、直线 $a$ 与平面 $α$ 有公共点

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10. 下列四个等式中正确的有（）

A、 $s i n 62 ° c o s 32 ° - c o s 62 ° s i n 32 ° = \frac{1}{2}$ B、 $s i n 75 ° c o s 75 ° = \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1 + t a n 75 °}{1 - t a n 75 °} = \sqrt{3}$ D、 $\frac{s i n 50 ° (\sqrt{3} s i n 10 ° + c o s 10 °)}{c o s 10 °} = 1$

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11. 已知向量 $\vec{O P} = (\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，将 $\vec{O P}$ 绕坐标原点 $O$ 分别旋转 $- 30 °$ ， $30 °$ ， $60 °$ 到 $\vec{O P_{1}}$ ， $\vec{O P_{2}}$ ， $\vec{O P_{3}}$ 的位置，则（）

A、 $\vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $| \vec{P P_{1}} | = | \vec{P_{1} P_{2}} |$ C、 $\vec{O P} \cdot \vec{O P_{3}} = \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}}$ D、点 $P_{1}$ 坐标为 $(\frac{\sqrt{15} + 2 \sqrt{5}}{10} ， \frac{2 \sqrt{15} - \sqrt{5}}{10})$

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12. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a s i n A - b s i n B = c s i n C - b s i n C$ ，若 $b + c = 4$ ，则a的值可以为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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三、填空题

13. 已知 $(2 - i) z = i^{2021}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ .

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14. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $A = \frac{2 π}{3} ， a = 7 ， b = 3$ ，则 $S_{△ A B C} =$ .

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16. 已知 $f (x) = \sqrt{3} c o s^{2} ω x + s i n ω x c o s ω x (ω > 0)$ ，如果存在实数 $x_{0}$ ，使得对任意的实数 $x$ ，都有 $f (x_{0}) \leq f (x) \leq f (x_{0} + 2022 π)$ 成立，则 $ω$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = m (m - 2) + m i (m \in R)$ 是纯虚数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若复数 $ω$ 满足 $| ω | = | z |$ ， $ω + \bar{ω} = 2$ ，求复数 $ω$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ .

(1)、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $s i n θ$ ；

(2)、若向量 $m \vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数m.

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19. 某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习.为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得 $∠ A D C = 30 °$ ， 6分钟后该船行驶至B处，此时测得 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，求船的速度是多少千米/分钟.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) > \sqrt{3}$ ，求 $x$ 的取值范围.

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21. 已知向量 $\vec{m} = (c o s A ， s i n B)$ ， $\vec{n} = (c o s B ， - s i n A)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = c o s 2 C$ ，其中A、B、C为 $△ A B C$ 的内角，a，b，c为角A，B，C的对边.

(1)、求C；

(2)、若 $2 c = a + b$ ，且 $a b c o s C = 18$ ，求c.

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22. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{\sqrt{3} c}{b c o s A} = t a n A + t a n B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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