广东省广州市2023届高三数学冲刺训练（三）试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ \frac{1}{2} < 2^{x + 1} < 8} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + m = 0}$ ，若 $1 \in A ∩ B$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 3}$

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2. 下列关于某个复数 $z$ 的说法中，① $z^{2} = | z |^{2}$ ② $\frac{1}{z} \in R$ ③ $| z - i | = \frac{1}{2}$ ④ $\bar{z} \in R$ 有且只有一个说法是错误的，则错误的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则 $a - b > 0$ 是 $a | a | - b | b | > 0$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $c o s θ + c o s (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $c o s (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{2021} \cdot a_{2022} < 1$ C、 $S_{n} = n$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} = \sqrt{n}$

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6. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（）

A、 $\frac{140}{243}$ B、 $\frac{40}{243}$ C、 $\frac{20}{81}$ D、 $\frac{40}{81}$

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7. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为 $1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + \dots + ∠ Q_{k} P Q_{1}) 其中 Q_{i} ， (i = 1.2 ， 3 \dots ， k \geq 3)$ 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ， $Q_{2} P Q_{3}$ ， ……， $Q_{k} P Q_{1}$ 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $a > b > d > c$ C、 $b > a > d > c$ D、 $c > d > b > a$

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8. 对于任意 $x > 0$ 都有 $x^{x} - a x l n x \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， e]$ B、 $[- e^{1 - \frac{1}{e}} ， e]$ C、 $(- \infty ， - e^{1 - \frac{1}{e}}] ∪ [e ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e]$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ C、 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{4}$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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10. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{s i n B s i n C}{3 s i n A} = \frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c}$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $\frac{c^{2}}{a + b}$ 的可能取值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

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11. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左､右焦点分别为F₁（−c，0），F₂（c，0）.直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + c)$ 与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} M}$ C、 $\vec{F_{2} F_{1}} \cdot \vec{F_{2} M} = \vec{F_{1} F_{2}} \cdot \vec{F_{1} M}$ D、 $| F_{1} M | = | F_{2} A |$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 2 ， - 2 \leq x \leq 1 \\ \ln x - 1 ， 1 < x \leq e \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = m$ 恰有两个不同解 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $（ x_{2} - x_{1}) f (x_{2})$ 的取值可能是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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三、填空题

13. 若 $n \in Z$ ，且 $3 \leq n \leq 6$ ，若 ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{n}$ 的展开式中存在常数项，则该常数项为.

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14. 已知 $A ， B$ 为抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上的两点， $M (- 1 ， 2)$ ，若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则直线 $A B$ 的方程为.

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15. 讲一个半径为5 $c m$ 的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA､PB､PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是 $c m$ .

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16. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为 $5 %$ ，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列 $c_{1} ， c_{2} ， c_{3} ， ⋯$ ，且满足递推公式： $c_{n + 1} - k = r (c_{n} - k) ， {S_{n}}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{10} =$ （ $1.0 5^{10} \approx 1.63$ 答案精确到1）.

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四、解答题

17. 已知递增等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{2} \cdot a_{4} = 21$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 l o g_{2} b_{n} = a_{n} - 1 ， n \in N *$ .

(1)、求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $T_{n} = n b_{1} + (n - 1) b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ，求数列 ${T_{n}}$ 的通项公式.

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 c^{2} = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (t a n A + t a n B)$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若边 $a = \sqrt{2}$ ，边 $B C$ 的中点为 $D$ ，求中线 $A D$ 长的取值范围.

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19. 如图甲是由正方形 $A B C D$ ，等边 $△ A B E$ 和等边 $△ B C F$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 6$ ，将其沿 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 折起得三棱锥 $P - A B C$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、过棱 $A C$ 作平面 $A C M$ 交棱 $P B$ 于点 $M$ ，且三棱锥 $P - A C M$ 和 $B - A C M$ 的体积比为 $1 ： 2$ ，求直线 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．

(1)、公司内部测试的活动方案设置了第 $i (i \in N_{+})$ 次抽奖中奖的名额为 $3 i + 2$ ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中．
①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?
②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?

(2)、由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第 $i (i \in N_{+})$ 次抽奖中奖的概率为 $p_{i} = \frac{9 + {(- 1)}^{i}}{40}$ ，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行 $2 n (n \in N_{+})$ 次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这 $2 n$ 次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于 $\frac{9}{2}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x + a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x - 1) + \ln (x + 1) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ .圆 $I$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，且 $C I$ 延长线交 $A B$ 于点 $D$ ，若 $\vec{C I} = 2 \vec{I D}$ .

(1)、求点 $C$ 的轨迹 $Ω$ 的方程；

(2)、若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程是 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，
①过直线 $l ： x = 4$ 上一点 $M$ 引 $Ω$ 的两条切线，切点分别是 $P ､ Q$ ，求证：直线 $P Q$ 恒过定点 $N$ ；

②是否存在实数 $λ$ ，使得 $| P N | + | Q N | = λ | P N | \cdot | Q N |$ ，若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，说明理由.

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