广东省广州市2023届高三数学冲刺（一）试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} - 4 x + 3 \geq 0}$ ， $N = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ，则集合 $M ∩ N$ ＝（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 0]$

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2. 已知 $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，且 $z^{2} + a \bar{z} + b = 0$ ，其中 $a ， b$ 为实数，则（）

A、 $a = 1 ， b = 0$ B、 $a = - 1 ， b = 0$ C、 $a = 1 ， b = 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ ，且 $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 6 ， 8)$ B、 $(6 ， - 8)$ C、 $(- \frac{6}{5} ， \frac{8}{5})$ D、 $(\frac{6}{5} ， - \frac{8}{5})$

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4. 大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数 $N$ （ $N$ 不为素数）能唯一地写成 $N = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} ⋯ ⋯ p_{k}^{a_{k}}$ （其中 $p_{i}$ 是素数， $a_{i}$ 是正整数， $1 \leq i \leq k ， p_{1} < p_{2} < ⋯ < p_{k})$ ，将上式称为自然数 $N$ 的标准分解式，且 $N$ 的标准分解式中有 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{k}$ 个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（）

A、6 B、13 C、19 D、60

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5. 已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ，则“ $s i n α + s i n β < \frac{1}{3}$ ”是“ $s i n (α + β) < \frac{1}{3}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1 ， a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3)$ ，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{2023}^{2}}{a_{2023}}$ 是斐波那契数列的第（）项.

A、2022 B、2023 C、2024 D、2025

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7. 已知圆台 $O_{1} O$ 的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面 $α$ 经过圆台 $O_{1} O$ 的两条母线，设 $α$ 截此圆台所得的截面面积为S，则（）

A、当 $h \geq R - r$ 时，S的最大值为 $(R + 2 r) h$ B、当 $h \geq R - r$ 时，S的最大值为 $\frac{(R + r) [h^{2} + {(R - r)}^{2}]}{2 (R - r)}$ C、当 $h < R - r$ 时，S的最大值为 $(R + 2 r) h$ D、当 $h < R - r$ 时，S的最大值为 $\frac{(R + r) [h^{2} + {(R - r)}^{2}]}{2 (R - r)}$

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8. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $M (0 ， 3 b)$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $F$ 为 $△ M A B$ 的重心，则直线 $l$ 斜率的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{13}}{3} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{13}}{9} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{9})$ D、 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{3})$

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二、多选题

9. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人均 $G D P x$ （单位：万元）和总和生育率 $y$ 以及女性平均受教育年限 $z$ （单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据 $(x_{i} ， y_{i} ， z_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 绘制了散点图，并得到经验回归方程 $\hat{z} = 7.54 + 0.33 x ， \hat{y} = 2.88 - 0.41 x$ ，对应的决定系数分别为 $R_{1}^{2} ， R_{2}^{2}$ ，则（）

A、人均GDP和女性平均受教育年限正相关 B、女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C、 $R_{1}^{2} < R_{2}^{2}$ D、未来三年总和生育率将继续降低

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M ， N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1} ， A B$ 的中点，则（）

A、异面直线 $M D$ 与 $C N$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ B、 $M C_{1} ⊥ D_{1} N$ C、点 $N$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、平面 $M N C$ 截正方体所得的截面是五边形

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11. 已知曲线 $C$ 是平面内到定点 $F (0 ， 1)$ 和定直线 $l ： y = - 1$ 的距离之和等于4的点的轨迹，若 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{13}$ C、曲线 $C$ 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D、点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到点 $Q (1 ， - \frac{3}{2})$ 和点 $F (0 ， 1)$ 的距离之和最小为 $\frac{9}{2}$

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12. 已知1， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ， 2为等差数列，记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ， $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{S_{n}}{n}$ 为常数 B、 $\sqrt[n]{T_{n}}$ 为常数 C、 $S_{n}$ 随着n的增大而增大 D、 $T_{n}$ 随着n的增大而增大

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 5 s i n x + 3 c o s x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， 5)$ 处的切线方程为.

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14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 $C D = 35 m$ ， $∠ A D B = 13 5^{∘}$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 1 5^{∘}$ ， $∠ A C B = 12 0^{∘}$ ，则A、B两点的距离为m．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0$ ，若直线 $y = k x - 2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = a l n x - 2 x (a \neq 0)$ ，若不等式 $x^{a} \geq 2 e^{2 x} f (x) + e^{2 x} c o s (f (x))$ 对 $x > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 若函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{5 π}{12}) - \sqrt{3} c o s (ω x + \frac{π}{12})$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若 $ω = 2$ ，求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上没有零点，求 $ω$ 的取值范围.

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18. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， ____.给出下列两个条件：条件①：数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${S_{n} + a_{1}}$ 均为等比数列；条件②： $2^{n} a_{1} + 2^{n - 1} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2 a_{n} = n a_{n + 1}$ .试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记正项数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $4 T_{n} = b_{n} \cdot b_{n + 1}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} [(- 1)^{i} b_{i} b_{i + 1}]$ .

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是棱长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D = \sqrt{6}$ ，若 $∠ P D C = ∠ P D B$ ，且 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，点 $F$ 在线段 $P A$ 上，且 $P C / /$ 平面 $B E F$ .

(1)、求 $\frac{A F}{A P}$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $B E F$ 夹角的余弦值.

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20. 甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．

(1)、甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\frac{1}{2}$ ．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；

(2)、乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．
（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．

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21. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 5$ ，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，如图 $P$ 为圆上任意一点，过 $P$ 分别作椭圆两条切线切椭圆于 $A ， B$ 两点.

(1)、若直线 $P A$ 的斜率为2，求直线 $P B$ 的斜率；

(2)、作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，判断点 $P$ 在运动的过程中， $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_{0} ， x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，求证： $x_{0} - x_{1} \geq l n 2$ .

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