广东省佛山市顺德区2023届高三下学期5月数学模拟仿真试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ | x - 1 | \leq 2} ， B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. ${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{8} - \frac{3 \sqrt{3}}{8} i$ B、1 C、 $\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i$ D、-1

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3. 从 $5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13$ 中随机取2个不同的数，则这2个数之和是4与6的公倍数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. 如图，某圆柱体的高为 $2 ， A B C D$ 是该圆柱体的轴截面.已知从点 $B$ 出发沿着圆柱体的侧面到点 $D$ 的路径中，最短路径的长度为 $2 \sqrt{5}$ ，则该圆柱体的体积是（）

A、3 B、 $\frac{4}{π}$ C、 $32 π$ D、 $\frac{32}{π}$

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5. 已知 $f (x)$ 的图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ B、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} - e^{- x})}$ C、 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) c o s (π x)}{2}$ D、 $f (x) = \frac{(e^{x} + e^{- x}) s i n (π x)}{2}$

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6. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，若动点 $M$ 满足 $M B = 2 M A$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最大值是（）

A、18 B、9 C、3 D、 $\frac{9}{4}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，直线 $A F$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $A F = 2 F B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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8. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x) (x \in R)$ 的导函数，对于任意的 $x \in R$ 都有 $f^{'} (x) + f (x) > 1$ ，且 $f (0) = 2023$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} + 2022$ 的解集是（）

A、 $(2022 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， 0) ∪ (2023 ， + ∞)$ C、 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + ∞)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. ${(x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是-252，则下列说法正确的是（）

A、 $n = 10$ B、各项的二项式系数之和为1024 C、 $a = - 1$ D、各项的系数之和为1024

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10. 所有的有理数都可以写成两个整数的比，例如 $0 . \overset{\cdot}{7} = 0.7777 ⋯ ， 0 . \overset{\cdot}{7}$ 如何表示成两个整数的比值呢？ $0 . \dot{7} = \frac{7}{10} + \frac{7}{1 0^{2}} + \frac{7}{1 0^{3}} + ⋯$ 代表了等比数列 ${\frac{7}{1 0^{n}}}$ 的无限项求和，可通过计算该数列的前 $n$ 项的和，再令 $n \to + ∞$ 获得答案.此时 $S_{n} = \frac{7}{9} - \frac{7}{9 \times 1 0^{n}}$ ，当 $n \to + ∞$ 时， $S_{n} \to \frac{7}{9}$ ，即可得 $0 . \dot{7} = \frac{7}{9}$ .则下列说法正确的是（）

A、 $0.4 \dot{5} = \frac{41}{90}$ B、 $\frac{1}{2^{n}}$ 为无限循环小数 C、 $\frac{1}{7^{n}}$ 为有限小数 D、数列 ${\frac{1}{5^{n}}}$ 的无限项求和是有限小数

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (\frac{ω x}{4} - \frac{π}{2}) c o s \frac{ω x}{4} + 2 \sqrt{3} s i n^{2} \frac{ω x}{4} - \sqrt{3} + 1 (ω > 0) ， x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $ω = 4$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间为 $[0 ， \frac{5 π}{12}]$ C、 $f (x) = - \frac{4}{5}$ 在 $[\frac{5}{12} π ， π]$ 上存在两个不相等的根 D、若 $| f (x) - m | < 2$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $(1 ， 4)$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x - t ， x \leq 4 \\ 2^{- t} - x + 4 ， 4 < x < 5 \\ 2^{t} - x + 4 ， x \geq 5 \end{array}$ 有4个零点，分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 4$ B、 $t \in [0 ， 4)$ C、 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的取值与 $t$ 无关 D、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为10

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.

13. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， x = 1$ 或 $x = 3$ ，则 $⌝ p ：$ .

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14. 某机器生产的产品质量误差 $X \sim N (1 ， 4) ， t$ 是 $1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 12 ， 15 ， 18 ， 23$ 的第60个百分位数，则 $P (- 3 \leq X \leq t - 5) =$ .
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545 ， P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973 .$

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，直线 $l ： y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线平行，过 $F_{2}$ 作 $M F_{2} ⊥ l$ ，垂足为 $M$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为6的等边三角形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值是；当二面角 $A - B D - C$ 为 $12 0^{∘}$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积是.

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四、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边为 $a ， b ， c ， c \cdot s i n A = a \cdot c o s C$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S ， S = \frac{\sqrt{2}}{4} b c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，过 $△ A B C$ 的重心点 $G$ 的直线 $l$ 与边 $a ， c$ 的交点分别为 $E ， F ， \vec{B C} = λ \vec{B E}$ ， $\vec{B A} = μ \vec{B F}$ ，请计算 $λ + μ$ 的值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n} ， S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，数列 ${b_{n}}$ 为单调递增的等比数列，且有 $b_{1} + b_{4} = 9 ， b_{2} \cdot b_{3} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{2 n - 1}$ ，设 ${c_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = 2 ， P A = P C = \sqrt{10} ， P B = \sqrt{14}$ ，设点 $Q$ 为 $P B$ 上的动点.

(1)、求 $△ Q A C$ 面积的最小值；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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20. 篮球职业联赛通常分为常规赛和季后赛两个阶段.常规赛采用循环赛，胜率高或者积分高的球队进入季后赛，季后赛是淘汰赛，采用三局两胜制进行淘汰，最终决出总冠军.三局两胜制是指当比赛一方先赢得两局比赛时该方获胜，比赛结束.

附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

(1)、下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表，由表中信息，依据

α = 0.05

的独立性检验，分析“主场”是否会增加胜率（计算结果保留两位小数）.

月份	比赛次数	主场次数	获胜次数	主场获胜次数
10月	8	3	6	3
11月	15	10	8	8
12月	14	7	8	5
1月	13	4	11	3
2月	11	7	6	5
3月	14	6	7	3
4月	5	3	4	3

(2)、甲队和乙队在季后赛中相遇，经过统计甲队在主场获胜的概率为

\frac{3}{4}

，客场获胜的概率为

\frac{1}{3}

.每场比赛场地为上一场比赛的获胜方的场地.

（i）若第一场比赛在甲队的主场进行，设整个比赛的进行的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

（ii）设选择第一场为甲队的主场的概率为 $p$ ，问当 $p$ 为何值时，无论第一场比赛的场地在哪里，甲队最终获胜的概率相同，并求出此时甲队获胜的概率.

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21. 已知点 $A$ 为直线 $l ： x + 1 = 0$ 上的动点，过点 $A$ 作射线 $A P$ （点 $P$ 位于直线 $l$ 的右侧）使得 $A P ⊥ l ， F (1 ， 0)$ ，设线段 $A F$ 的中点为 $B$ ，设直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点为 $T ， P F = T F$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程.

(2)、设过点 $Q (0 ， 2)$ 的两条射线分别与曲线 $C$ 交于点 $M ， N$ ，设直线 $Q M ， Q N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = 2$ ，请判断直线 $M N$ 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n (a x + 1) - 1$ ，其中 $a > 0 ， x \geq 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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