广东省2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 3 \leq 0}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \sqrt{3} c o s θ + i s i n θ$ （ $θ \in R$ ， i为虚数单位），则 $| z |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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4. 已知某摩天轮的半径为 $60 m$ ，其中心到地面的距离为 $70 m$ ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每 $30$ 分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过 $100 m$ 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）

A、 $5$ 分钟 B、 $10$ 分钟 C、 $15$ 分钟 D、 $20$ 分钟

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5. 现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{27}{8} π$ B、 $\frac{33}{8} π$ C、 $\frac{45}{8} π$ D、 $\frac{55}{8} π$

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6. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知 ${(1 - x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} x^{2023}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2023}} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、 $\frac{2023}{1012}$

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8. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{l n 3}{e}$ ， $c = \frac{\sqrt{2}}{e^{\sqrt{2}}}$ ，则（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ）（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 已知直线 $m$ 与平面 $α$ 有公共点，则下列结论一定正确的是（）

A、平面 $α$ 内存在直线 $l$ 与直线 $m$ 平行 B、平面 $α$ 内存在直线 $l$ 与直线 $m$ 垂直 C、存在平面 $γ$ 与直线 $m$ 和平面 $α$ 都平行 D、存在过直线 $m$ 的平面 $β$ 与平面 $α$ 垂直

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10. 已知 $f (x) = c o s x + t a n x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 有对称轴 C、 $f (x)$ 有对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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11. 现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）

A、甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B、乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C、丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D、丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24

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12. 在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为 $(0 ， 0) ， (1 ， 0) ， (2 ， 0) ， (4 ， 0)$ ，则正方形ABCD四边所在直线中过点 $(0 ， 0)$ 的直线的斜率可以是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 12$ ， $a_{4} = 16$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ ．

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14. 已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为2， $∠ B A D = 60 °$ ，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，M是C上一点且 $M F_{2}$ 与x轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且 $\vec{M N} = 4 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆C的标准方程为．

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16. 已知 $f (x) = x^{3} - x$ ，若过点 $P (m ， n)$ 恰能作两条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，且这两条切线关于直线 $x = m$ 对称，则 $m$ 的一个可能值为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} 2^{a_{n}} ， n 为奇数 \\ \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为偶数 \end{array}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前2n项的和 $T_{2 n}$ ．

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18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b c o s \frac{A + B}{2} = c s i n B$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $a + b = \sqrt{3} c$ ，求sinA．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $P D ⊥ C D$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P B$

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面PCD，且 $P A = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

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20. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为 $γ (α + β + γ = 1 ， α > 0 ， β > 0 ， γ \geq 0)$ ，且每局比赛结果相互独立．

(1)、若 $α = \frac{2}{5}$ ， $β = \frac{2}{5}$ ， $γ = \frac{1}{5}$ ，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；

(2)、当 $γ = 0$ 时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．

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21. 已知 $f (x) = x^{2} - a e^{x}$ ，存在 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = 0$ ．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、试探究 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 与3的大小关系，并证明你的结论．

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22. 已知A，B是抛物线E： $y = x^{2}$ 上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足 $\frac{| P A |}{| P C |} = \frac{| P B |}{| P D |} = λ$ ，其中λ是常数，且 $λ \neq 1$ ．

(1)、设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；

(2)、若点P为半圆 $x^{2} + y^{2} = 1 (y < 0)$ 上的动点，且 $λ = 2$ ，求四边形ABDC面积的最大值．

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