吉林省长春市2022-2023学年高二（下）数学质检试卷

试卷更新日期：2023-06-02 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。）

1. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ （其中 $i$ 是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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2. 幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 下列函数定义域为 $(0 ， + ∞)$ 且在定义域内单调递增的是（）

A、 $y = e^{x}$ B、 $y = - l o g_{\frac{1}{π}} x$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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4. 若集合 $A = {x | | x - 2 | < 1}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - 4) \geq 0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $A \subseteq B$ D、 $∁_{R} B \subseteq A$

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5. 为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，该项目由长方形核心喷泉区 $A B C D ($ 阴影部分 $)$ 和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的 $A B C D$ 面积为 $1000 m^{2}$ ，绿化带的宽分别为 $2 m$ 和 $5 m ($ 如图所示 $) .$ 当整个项目占地 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 面积最小时，则核心喷泉区 $B C$ 的长度为（）

A、 $20 m$ B、 $50 m$ C、 $10 \sqrt{10} m$ D、 $100 m$

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6. 将函数 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位后，所得图象对应的函数解析式为（）

A、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{5}{12} π)$ B、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{5}{12} π)$ C、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $y = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{12})$

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7. 设l是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l // α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l // β$ D、若 $l // α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{10}}{2} \vec{a}$ C、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 4$ D、与向量 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$

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9. 如图，已知六棱锥 $P - A B C D E F$ 的底面是正六边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P B ⊥ A D$ B、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ C、直线 $B C / /$ 平面 $P A E$ D、直线 $C D ⊥$ 平面 $P A C$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} (x - 1) | ， 1 < x \leq 3 \\ x^{2} - 8 x + 16 ， x > 3 \end{array}$ 若方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11. 化简 $s i n 75 ° c o s 75 ° =$ ．

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12. 有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，丙能解决的概率是 $\frac{1}{3}$ ，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为．

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13. 一个圆锥母线长为 $\sqrt{6}$ ，侧面积 $3 \sqrt{2} π$ ，则这个圆锥的外接球体积为．

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14. 直线 $l$ ： $m x - y + 1 = 0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ 的弦为 $M N$ ，则 $| M N |$ 的最小值为，此时 $m$ 的值为．

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三、解答题（本大题共4小题，共44.0分。）

15. 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；

(3)、估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $b^{2} + c^{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} b c = a^{2}$ ．
（Ⅰ）求 $c o s A$ 的值；

（Ⅱ）若 $B = 2 A$ ， $b = \sqrt{6}$ ，求 $a$ 的值．

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17. 设 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1 - a x}{x - 1}$ 为奇函数， $a$ 为常数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $\forall x \in [2 ， 4]$ ，不等式 $f (x) + x > (\frac{1}{3})^{x} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2．

(1)、证明： $A C ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求二面角 $D_{1} - A C - B$ 的平面角的余弦值．

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