江苏省南京市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-06-01 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数-3的相反数是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 计算（a²）³ ，正确结果是（　　）

A、a⁵ B、a⁶ C、a⁸ D、a⁹

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3. 估计12的算术平方根介于（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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4. 反比例函数 $y = \frac{k^{2}}{x}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象位于（）

A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第一、二象限 D、第三、四象限

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5. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $a > b$ ，下列结论中一定正确的是（）

A、 $| a | > | b |$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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6. 直三棱柱的表面展开图如图所示， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，四边形 $A M N B$ 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 $C$ 距离最大的是（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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二、填空题

7. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为km．

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8. 若 $\frac{2}{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

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9. 计算 $\sqrt{18} - \sqrt{8}$ 的结果为．

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10. 方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的解是．

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11. 如图， ▱ ABCD的顶点A、C分别在直线l₁ ， l₂上，l₁∥l₂ ，若∠1=33°，∠B=65°，则∠2= ．

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12. 若 $2^{4} + 2^{4} = 2^{a}$ ， $3^{5} + 3^{5} + 3^{5} = 3^{b}$ ，则 $a + b =$ ．

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13. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的最大值为2，写出一组符合条件的 $a$ 和 $c$ 的值：．

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14. 在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 如图所示，点 $A$ 的坐标 $(- 1 ， 0)$ ，点 $D$ 的坐标是 $(- 2 ， 4)$ ，则点 $C$ 的坐标是．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，它的3个外角 $∠ E A B$ ， $∠ F B C$ ， $∠ G C D$ 的度数之比为 $1 ： 2 ： 4$ ，则 $∠ D =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列： $(0 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ， $(0 ， 1)$ ， $(2 ， 0)$ ， $(1 ， 1)$ ， $(0 ， 2)$ ， $(3 ， 0)$ ， $(2 ， 1)$ ， $(1 ， 2)$ ， $(0 ， 3)$ ， $(4 ， 0)$ ， $(3 ， 1)$ ， $(2 ， 2)$ ， $(1 ， 3)$ ， …按这个规律，则 $(6 ， 7)$ 是第个点．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{a + b}{a b} \div (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})$ ，其中 $a = 3$ ， $b = 2$ ．

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 2) \leq x - 4 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ．

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19. 某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数．

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20. 某企业餐厅，有A、

B

两家公司可选择，该企业现连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择

B

公司，记录送餐用时（单位：

m i n

）如下表：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A公司送餐用时	26	26	30	25	27	29	24	28	30	25
$B$ 公司送餐用时	20	18	21	16	34	32	15	14	35	15

根据上表数据绘制的折线统计图如图所示：

(1)、根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；

(2)、如果某工作日该企业希望送餐用时不超过

20 m i n

，应选择哪家公司？请简述理由．

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21. 甲城市有2个景点A、B，乙城市有3个景点C、D、E，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：

(1)、选取1个景点，恰好在甲城市；

(2)、选取2个景点，恰好在同一个城市．

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22. 如图， $A M ∥ B N$ ， $A C$ 平分 $∠ B A M$ ，交 $B N$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ ，交 $A M$ 于点 $D$ ，垂足为 $O$ ，连接 $C D$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

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23. 如图，灯塔 $B$ 位于港口 $A$ 的北偏东 $58 °$ 方向，且 $A$ 、 $B$ 之间的距离为 $30 k m$ ，灯塔 $C$ 位于灯塔 $B$ 的正东方向，且 $B$ 、 $C$ 之间的距离为 $10 k m$ ，一艘轮船从港口 $A$ 出发，沿正南方向航行到达 $D$ 处，测得灯塔 $C$ 位于北偏东 $37 °$ 方向上，这时， $D$ 处距离港口 $A$ 有多远（结果取整数）？（参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85$ ， $c o s 58 ° \approx 0.53$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ， $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $B C$ 上， $B D = C E$ ，过 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 三点作 $⊙ O$ ，连接 $A O$ 并延长，交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A F ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ， $B D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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25. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为 $3000 m^{3}$ ，原有水量分别为 $1200 m^{3}$ 、 $300 m^{3}$ ，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为 $100 m^{3}$ ，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第 $x m i n$ 时，甲、乙水池的水量分别为 $y_{1} m^{3}$ 、 $y_{2} m^{3}$ ．

(1)、若每分钟向甲注水 $40 m^{3}$ ，分别写出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、若每分钟向甲注水 $50 m^{3}$ ，画出 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象；

(3)、若每分钟向甲注水 $a m^{3}$ ，则甲比乙提前 $3 m i n$ 注满，求 $a$ 的值．

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26. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $E$ 是 $A D$ 上一点， $A E = 2$ ， $F$ 是 $A B$ 上的动点，连接 $E F$ ， $G$ 是 $E F$ 上一点，且 $\frac{G F}{E F} = k$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ），分别过点 $F$ 、 $G$ 作 $A B$ 、 $E F$ 的垂线相交于点 $P$ ，设 $A F$ 的长为 $x$ ， $P F$ 的长为 $y$ ．

(1)、若 $k = \frac{1}{2}$ ， $x = 4$ ，则 $y$ 的值为；

(2)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(3)、在点 $F$ 从点 $A$ 到点 $B$ 的整个运动过程中，若线段 $C D$ 上存在点 $P$ ，则 $k$ 的值应满足什么条件？直接写出 $k$ 的取值范围．

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27. 在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
例如：如图①，先将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为位似中心缩小，得到 $△ A D E$ ，再将 $△ A D E$ 沿过点 $A$ 的直线 $l$ 翻折，得到 $△ A F G$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A F G$ 成自位似轴对称．

(1)、如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C < B C$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，下列3对三角形：① $△ A B C$ 与 $△ A C D$ ；② $△ B A C$ 与 $△ B C D$ ；③ $△ D A C$ 与 $△ D C B$ ．其中成自位似轴对称的是（填写所有符合条件的序号）；

(2)、如图③，已知 $△ A B C$ 经过自位似轴对称变换得到 $△ A D E$ ， $Q$ 是 $D E$ 上一点，用直尺和圆规作点 $P$ ，使 $P$ 与 $Q$ 是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；

(3)、如图④，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A B E = ∠ C$ ， $∠ B A E = ∠ C A D$ ，连接 $D E$ ，求证： $D E ∥ A C$ ．

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