浙江省杭州市淳安县2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四个数中，最小的数是（）

A、 $- (+ 2)$ B、 $- | - 3 |$ C、1 D、0

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2. 苹果的单价为 $a$ 元/千克，香蕉的单价为 $b$ 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）

A、 $(a + b)$ 元 B、 $(3 a + 2 b)$ 元 C、 $5 (a + b)$ 元 D、 $(2 a + 3 b)$ 元

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3. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有 $8 c m ， 7 c m ， 13 c m$ 和 $15 c m$ 四种规格，小朦同学已经取了 $8 c m$ 和 $7 c m$ 两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A、 $15 c m$ B、 $13 c m$ C、 $8 c m$ D、 $7 c m$

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4. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 $\frac{2}{3}$ ，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{2} y = 50 \\ x - \frac{2}{3} y = 50 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ y + \frac{2}{3} x = 50 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 50 \\ x - \frac{2}{3} y = 50 \end{array}$

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5. 千岛湖某青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h
2
3
4
5
6
人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（）

A、众数是6 B、中位数是4 C、平均数是3 D、方差是1

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6. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{a}{b}$ B、 $s i n A = \frac{b}{c}$ C、 $s i n A = \frac{a}{c}$ D、 $s i n A = \frac{b}{a}$

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7. 已知一次函数 $y = (m - 2023) x + m + 2023$ ，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（）

A、 $m < 2023$ B、 $m > 2023$ C、 $m = 2023$ D、 $m > 0$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ， $A B = 8$ ， M为线段 $B D$ 上一动点， $M P ⊥ C D$ 于点P， $M Q ⊥ B C$ 于点Q，则 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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9. 已知点 $A (m ， n)$ 、 $B (m + 1 ， n)$ 是二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象上的两个点，若当 $x \leq 2$ 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A、 $m \leq \frac{3}{2}$ B、 $m \geq \frac{3}{2}$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \leq 1$

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10. 如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 计算： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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12. 一组数据： $6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14$ ，则这组数据的方差是．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 中，分别以点B，D为圆心，以 $\frac{1}{2} B D$ 长为半径画弧，分别交边 $B C ， A D$ 于点E，F．若 $A B = 4 ， ∠ B A D = 60 °$ ，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）

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14. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC，tan∠BPC= ．

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15. 已知函数y与自变量x的部分对应值如表：

x	…	-5	-2	2	5	…
y	…	-2	m	5	n	…

下列命题：①若y是x的反比例函数，则 $2 m ＋ 5 n = 0$ ；②若y是x的一次函数，则 $n - m = 7$ ；③若y是x的二次函数，且图象开口向下，则 $m > n$ ．其中正确的是．（填写正确的序号）

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C$ ，点F、G分别在 $A B 、 D C$ 边上，沿 $G F$ 将四边形 $A F G D$ 翻折得到四边形 $E F G P$ ，且点E落在 $B C$ 边上， $E P$ 交 $C D$ 于点H.若 $s i n ∠ C G P = \frac{3}{5} ， G F = 2 \sqrt{5}$ ，则 $C E$ 的长为.

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三、解答题

17. 用消元法解方程组 ${\begin{array}{l} x - 3 y = 5 ① \\ 4 x - 3 y = 2 ② \end{array}$ 时，两位同学的消元方法如下：
小吴解法：由 $① - ②$ ，得 $3 x = 3$ ．

小严解法：由②，得 $3 x + (x - 3 y) = 2$ ③

把①代入③，得 $3 x + 5 = 2$ ．

(1)、上述两位同学的消元过程是否有误，请判断．

(2)、请选择一种你喜欢的方法，解出方程组．

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18. 千岛湖某学校想知道学生对“大下姜”，“沪马公园”，“月光之恋”等旅游景点的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不知道，B．了解较少，C．了解较多，D．十分了解．将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)、本次调查了多少名学生？

(2)、根据调查信息补全条形统计图；

(3)、该校共有1800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？

(4)、在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

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19. 如图，在 $5 \times 5$ 方格子中，有一条线段 $A B$ ，两个端点在格点上，请利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

(1)、如图1中，在线段 $A B$ 上作出一点C，使得 $A C = B C$ ；

(2)、如图2中，在线段 $A B$ 上作出一点D，使得 $A D = \frac{1}{3} B D$ ．

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20. 已知一次 $y_{1} = x - a + 2$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交．

(1)、判断 $y_{2}$ 是否经过点 $(k ， 1)$ ．

(2)、若 $y_{1}$ 的图象过点 $(k ， 1)$ ，且 $2 a + k = 5$ ．
①求 $y_{2}$ 的函数表达式．

②当 $x > 0$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

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21. 如图所示， $△ A B C$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在⊙ $O$ 上，顶点 $C$ 在⊙ $O$ 外，边 $A C$ 与⊙ $O$ 相交于点 $D$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，连接 $O B$ 、 $O D$ ，已知 $O D ∥ B C$ .

(1)、求证：直线 $B C$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若线段 $O D$ 与线段 $A B$ 相交于点 $E$ ，连接 $B D$ .
①求证： $△ A B D ∽ △ D B E$ ；
②若 $A B \cdot B E = 6$ ，求⊙ $O$ 的半径的长度.

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22. 设二次函数 $y = (x + 1) (a x + 2 a + 2)$ （ $a$ 是常数， $a \neq 0$ ）

(1)、若 $a = 1$ ，求该函数图象的顶点坐标.

(2)、若该二次函数图象经过 $(- 1 ， 1)$ ， $(- 2 ， 3)$ ， $(0 ， - 2)$ 三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.

(3)、若二次函数图象经过 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 两点，当 $x_{1} + x_{2} = 2$ ， $x_{1} < x_{2}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ，求证： $a < - \frac{2}{5}$

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23. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 是对角线 $A C$ 上一点． $F$ 是线段 $B C$ 延长线上一点，且 $C F = A E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、如图1，若 $E$ 是线段 $A C$ 上任意一点，连接 $E F ， D F ， D E$ ，求证： $△ A D E ≌ △ C D F$ ．

(2)、在第（1）题的前提下，求证： $B E = E F$ ．

(3)、如图2，若 $E$ 是线段 $A C$ 延长线上一点，其他条件不变，且 $B E ∥ A F$ ，求 $t a n ∠ A F C$ 的值．

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时间/h	2	3	4	5	6
人数	1	3	2	3	1