广东省深圳市侨外、翠园、盐外等六校联考2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $a + 2 a = 3 a^{2}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$

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2. 据悉，中国工程师制造出了一种集光学传感器 $i c o n$ 和信号处理器于一芯的光纤陀螺仪．它具有246纳米独立自主成熟制程，若1纳米 $= 1 0^{- 9}$ 米．则246纳米用科学记数法表示为（）米

A、 $24.6 \times 1 0^{- 8}$ B、 $2.46 \times 1 0^{- 7}$ C、 $2.46 \times 1 0^{- 11}$ D、 $246 \times 1 0^{- 9}$

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3. 如图， $∠ 1 = 80 °$ ， $a ∥ b$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $60 °$

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4. 如图，某单位要在河岸 $l$ 上建一个水泵房引水到 $C$ 处，他们的做法是：过点 $C$ 作 $C D ⊥ l$ 点 $D$ ，将水泵房建在了 $D$ 处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（）

A、三角形的稳定性 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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5. 以下说法错误的是（）

A、两直线平行，内错角相等 B、两直线平行，同旁内角相等 C、两直线平行，同位角相等 D、平行于同一直线的两条直线平行

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6. 如图，已知 $∠ B A C = ∠ D A C$ ，则下列条件中不一定能使 $Δ A B C ≌ Δ A D C$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ A C B = ∠ A C D$ C、 $B C = D C$ D、 $A B = A D$

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7. 深圳的公交车数量位列全国之首，已知某公交小巴每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数

x

（人）与每月利润（每月利润=每月票款收入

-

每月支出费用）

y

（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的票价固定不变），以下说法不正确的是（）

$x$ （人）	……	1000	2000	3000	4000	5000	……
$y$ （元）	……	-3000	-1000	1000	3000	5000	……

A、在变化过程中，自变量是每月乘车人数 B、在变化过程中，每月的利润是因变量 C、若当月乘客达到2600人时，该公交车会亏损 D、若当月乘客达到3500人时，该公交车盈利2000元

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8. 如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中， $\overset{⌢}{F G}$ 是（）

A、以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B、以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C、以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D、以点E为圆心、OD的长为半径的弧

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9. 已知 $a - b = 2$ ， $a b = 3$ ，则 ${(a + b)}^{2} =$ （）

A、16 B、14 C、12 D、10

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $B E$ 是 $A C$ 边上的中线，点 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $B C = 3 C D$ ， $A D$ 、 $B E$ 交于点 $G$ ，且 $S_{△ G E C} = 3$ ， $S_{△ G D C} = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、50 B、40 C、30 D、20

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二、填空题

11. 计算： ${(2 a^{2} b)}^{3} =$ ．

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12. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 100 °$ ， $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ， $C E$ 交于点 $O$ ，则 $∠ B O C =$ ．

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14. 形如 $| \begin{array}{l} a c \\ b d \end{array} |$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $| \begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array} |$ $| \begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array} | = a d - b c$ ，则 $| \begin{array}{l} x + 1 & 2 x - 6 \\ x & 2 (x - 1) \end{array} | = 10$ 中 $x$ 的值是．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从 $A$ 点出发沿 $A - C - B$ 路径运动，终点为 $B$ 点；点 $Q$ 从 $B$ 点出发沿 $B - C - A$ 路径运动，终点为 $A$ 点．点 $P$ 和点 $Q$ 分别以 $1 c m / s$ 和 $3 c m / s$ 的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点 $P$ 和 $Q$ 作 $P E ⊥ l$ 于 $E$ ， $Q F ⊥ l$ 于 $F$ ．当 $△ P E C$ 与 $△ Q F C$ 全等时，点 $P$ 的运动时间 $t$ 为．

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三、解答题

16. 计算

(1)、 ${(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(1 - π)}^{0} - | - 2 |$

(2)、 $- 2 x (2 x^{2} - 3 x - 1)$

(3)、 $0.12 5^{2023} \times {(- 8)}^{2024}$

(4)、利用乘法公式计算 $202 3^{2} - 2021 \times 2025$

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17. 先化简，再求值 ${(a + b)}^{2} + (a^{2} b - 2 a b^{2} - b^{3}) \div b - (a - b) (a + b)$ ，其中 $a = - 1$ ， $b = 2$

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18. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成：（作图要求用2B铅笔、直尺在答题卡上完成，确定后，再用黑色签字笔描黑，在试卷纸上作图作答无效）

画图操作：

⑴过点A作直线 $B C$ 的平行线 $A M$ ；

⑵过点 $B$ 作直线 $B E ⊥ A B$ ，交直线 $A M$ 于点 $E$ ；

⑶作射线 $C F$ ，交线段 $A B$ 于点 $F$ ，使得平分 $△ A B C$ 的面积

计算探究：

⑷点A到 $B C$ 的距离是 ▲ ；

⑸请找出图中的一对全等三角形是： ▲ ．

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19. 自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练．以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离 $s (k m)$ 与所用时间 $t (h)$ 之间的关系，请根据图象回答下列问题：

(1)、途中小轩共休息了小时；

(2)、小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离 $a$ 是多少 $k m$ ?

(3)、小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是 $k m / h$ ；

(4)、已知小轩是早上7点离开家的，请通过计算，求出小轩到家的时间．

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四、填空题

20. 补全证明过程及依据，如图， $E$ 点为 $D F$ 上的点， $B$ 为 $A C$ 上的点， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ C = ∠ D$ ．

试说明： $A C ∥ D F$

解： $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）

$∠ 1 = ∠ 3$ （    ）

∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （等量代换）

∴ $C E ∥$       ▲      （    ）

∴ $∠ C = ∠ A B D$ （    ）

又∵ $∠ C = ∠ D$ （已知）

∴ $∠ D = ∠ A B D$ （    ）

∴ $A C ∥ D F$ （    ）

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五、解答题

21. 如图1，有足够多的1号大正方形，2号小正方形、3号长方形的卡片，某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝障长方形．

(1)、【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式，拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有 $a$ 、 $b$ 的一个等式：．

(2)、【尝试探究】小军想设计一个长为 $(3 a + b)$ ，宽为 $(a + 3 b)$ 的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．

(3)、【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用）．再沿虚线折叠、粘合（如图3），能制作出一个无盖长方体盒子．若 $a = 3$ 分米，小正方形的边长记为 $c$ 分米（ $c$ 的值可变化），无盖长方体的体积记为 $V$ （ $分米^{3}$ ），
①无盖长方体的体积 $V =$ （用含 $c$ 的代数式表示）；

②两人把 $c$ 的多种情况代入上式，发现当 $c = 0.4$ 时， $V =$ $分米^{3}$ ，当 $c = 1$ 时， $V =$ $分米^{3}$ ；他们找老师帮绘制出了 $V$ 与 $c$ 的关系图像（如图4），最终证实了当 $c = \frac{1}{6} a$ 时， $V$ 最大，最大值= $分米^{3}$ ；

③借助以上信息，可得 $V$ 随着 $c$ 的变化而变化的情况是：．

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22. 如图

【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为

∵ $A B = A C$

∴ $∠ B = ∠ C$

(1)、【新知应用】已知：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，若 $∠ A = 110 °$ ，则 $∠ B =$ ；若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ A =$ ．

(2)、【尝试探究】如图2，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ A D C = 180 °$ ，若连接 $C A$ ，则 $C A$ 平分 $∠ B C D$ ．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长 $C D$ 到点 $E$ ，使得 $D E = B C$ ，连接 $A E$ ，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．

(3)、【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B = A E$ ， $B C + D E = C D$ ， $∠ B + ∠ A E D = 180 °$ ，连接 $C A$ ， $C A$ 平分 $∠ B C D$ 吗?请说明理由．

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