山西省晋中市平遥县2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实：边长为1的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比．这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，请问这个定理被称为（）

A、勾股定理 B、韦达定理 C、费马大定理 D、阿基米德折弦定理

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3. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x > 2$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x < - 1$

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4. 如图，在平面内将 $Rt △ A B C$ 绕着直角顶点C逆时针旋转 $90 °$ 得到 $R t △ E F C$ ．若 $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，则线段 $B E$ 的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 等腰三角形的周长为 $20 cm$ ，其中一边长为 $5 cm$ ，则其腰长为（）

A、 $5 cm$ B、 $5 cm$ 或 $7.5 cm$ C、 $7.5 cm$ D、以上都不对

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6. 如图所示，A ， B ， C ， D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）

A、 $D < B < A < C$ B、 $B < D < C < A$ C、 $C < B < A < D$ D、 $B < C < D < A$

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7. 在平面直角坐标系中，将点 $P (- 1 ， - 4)$ 向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后得到的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x ，则横线的信息可以是（　　）

A、分给8个同学，则剩余6本 B、分给6个同学，则剩余8本 C、如果分给8个同学，则每人可多分6本 D、如果分给6个同学，则每人可多分8本

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点E ．若 $△ A C D$ 的面积为16， $A C ＝ 8$ ，则 $D E$ 的长为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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10. 某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：

A型

B型

价格（万无 $/$ 台）

12

10

月污水处理能力（吨 $/$ 月）

200

160

经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是 $($ 　　 $)$

A、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩽ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩾ 1380 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 = x) ⩾ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩽ 1380 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩾ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩾ 1380 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 12 x + 10 (8 - x) ⩽ 89 \\ 200 x + 160 (8 - x) ⩽ 1380 \end{cases}$

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二、填空题

11. “x的5倍与y的差大于1”用不等式表示为.

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12. 如图，点A、B分别在x轴和y轴上， $O A = 1$ ， $O B = 2$ ，若将线段 $A B$ 平移至 $A^{'} B$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为．

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13. 如图，函数y＝－3x和y＝kx＋b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx＋b＋3x＞0的解集为.

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14. 对于任意实数a、b ，定义一种运算：a※ $b = a b - a + b - 2$ ．例如，2※ $5 = 2 \times 5 - 2 + 5 - 2 = 11$ ．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※ $x < 4$ ，则不等式的正整数解是__．

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15. 如图， $△ A B C$ 的点 $A 、 C$ 在直线l上， $∠ B = 120 ° ， ∠ A C B = 40 °$ ，若点P在直线l上运动，当 $△ A B P$ 成为等腰三角形时，则 $∠ A B P$ 度数是．

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三、解答题

16.

(1)、解不等式： $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{9 x + 2}{6} \leq 1$ ．

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 3 > 0 \\ \frac{5}{6} x - 1 \leq \frac{x}{3} \end{array}$ ，并将解集在数轴上表示出来．

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17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点C的坐标 $(4 ， - 2)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向上平移 $5$ 个单位后得到对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请你画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、以点A为旋转中心，画出把 $△ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ 所得的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(3)、以原点O为对称中心，画出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ ，并写出点 $C_{3}$ 的坐标．

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18. 为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？

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19. 在① $F B = F C$ ， ② $∠ A B E = ∠ A C D$ ， ③ $A D = A E$ 请你在这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中横线上，并完成问题的解答．
问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ，点D在 $A B$ 边上（不与点A，点B重合），点E在 $A C$ 边上（不与点A，点C重合），连接 $B E$ ， $C D$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点F．若，求证： $B E = C D$ ．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = 0.5 x + 1$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作 $A C ⊥ A B$ ，且 $A C = A B$ ．

(1)、如图，求线段 $A B$ 的长度；

(2)、如图，将 $△ A B C$ 向右平移得到 $△ A^{'} B C$ ，点A的对应点 $A^{'}$ 始终在x轴上，当点C的对应点 $C^{'}$ 正好落在直线 $y = 0.5 x + 1$ 上，求此时 $C^{'}$ 的坐标．

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21. 阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式 $(x - 3) (4 + 2 x) > 0$ 的解集．

小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：① ${\begin{matrix} x - 3 > 0 \\ 4 + 2 x > 0 \end{matrix}$ 或② ${\begin{matrix} x - 3 < 0 \\ 4 + 2 x < 0 \end{matrix}$ ，解不等式组①得 $x > 3$ ，解不等式组②得 $x < - 2$ ，所以原不等式解集为 $x > 3$ 或 $x < - 2$ ．请你仿照上述方法，求不等式的 $(2 x - 4) (1 + x) < 0$ 的解集．

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22. 小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图， $∠ M O N = 90 °$ ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 $O B > 2 O A$ ．

求作：线段OB上的一点C，使 $△ A O C$ 的周长等于线段 $O B$ 的长．

以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即 $△ A O C$ 得周长等于OB的长，那么由 $O A + O C + A C = O B = O C + B C$ ，可以得到 $O A + A C =$ ．

对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 $B D = A O$ ，那么就可以得到 $C A =$ ．

若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．

请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

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23. 综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形，其中 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，则 $△ A B D ≌ △ A C E (S A S)$ ．

(1)、【初步把握】如图2， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，则有 $≌$ ．

(2)、【深入研究】如图3，已知 $△ A B C$ ，以 $A B 、 A C$ 为边分别向外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，并连接BE ， $C D$ ，求证： $B E = C D$ ．

(3)、【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A D$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $C E$ ，交于点P ，请判断 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并说明理由．

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	A型	B型
价格（万无 $/$ 台）	12	10
月污水处理能力（吨 $/$ 月）	200	160