山西省大同市灵丘县2022―2023学年八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若代数式 $\sqrt{6 - 2 x}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \leq - 3$ B、 $x \leq 3$ C、 $x \geq 3$ D、 $x \geq - 3$

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{27}$ D、 $\sqrt{40}$

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3. 下列运算中正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ C、 ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 12$ D、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$

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4. 以下列长度作为三边构建三角形，能构成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， 5 C、2，2， $2 \sqrt{3}$ D、1，2， $\sqrt{3}$

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5. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、平行四边形的对角线互相平分 B、矩形的两条对角线相等 C、两直线平行，内错角相等 D、菱形的四条边都相等

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是 $A B$ 、 $A C$ 边的中点，已知 $△ A B C$ 的周长为18，则 $△ A D E$ 的周长为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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7. 如图， $▱ O A B C$ 位于第一象限中，已知顶点A、C的坐标分别为 $(5 ， 0)$ ， $(2 ， 3)$ ，则顶点B的坐标为（）

A、 $(5 ， 3)$ B、 $(6 ， 3)$ C、 $(6 ， 4)$ D、 $(7 ， 3)$

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8. 正方形 $A B C D$ 的对角线长为 $2 \sqrt{2}$ ，则其周长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、16

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，对角线 $B D = 4$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $16$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $B C = 2 A B$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，连接 $O E$ ，下列结论中正确的有（）
① $∠ A D B = 30 °$ ；② $A B = 2 O E$ ；③ $D E = A B$ ；④ $O D = C D$ ；⑤ $S_{▱ A B C D} = A B \cdot B D$

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 已知a，b，c是三角形三边长，则化简 $\sqrt{（ a - b - c ）^{2}} =$ .

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12. 在平面直角坐标系中，点 $P (3 ， - 4)$ 到原点的距离是．

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13. 如图，已知 $▱$ ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 $▱$ ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．

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14. 如图，将一个平行四边形木框 $A B C D$ 变形为矩形 $A^{'} B C D^{'}$ ，其面积增加了一倍，则原平行四边形中最小的内角度数是．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 $6 cm$ ，点E为 $B C$ 边中点，沿直线 $D E$ 折叠，点C落在点F处，延长 $E F$ 交 $A B$ 于点G，连接 $B F$ ，则 $△ B E F$ 的面积为．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} + \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) + {(2 \sqrt{3} + 1)}^{2}$ ．

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17. 如图， $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形．

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18. 黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为 $(20 + 2 \sqrt{5}) cm$ ，则海报的长应设计为多少 $cm$ ？

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19. 如图，正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1．

(1)、在图中分别画出线段 $A B = \sqrt{5}$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = \sqrt{13}$ ；

(2)、判断以 $A B$ ， $C D$ ， $E F$ 三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

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20. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E为对角线 $A C$ 上的一点， $E F ⊥ C D$ ， $E G ⊥ A D$ ，垂足分别为F，G，已知 $E G = 1$ ， $E F = 2$ ，求 $B E$ 的长度．

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21. 在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} ， \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$ $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

(1)、用上述方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2023} + 1)$ ．

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22. 综合与实跷
通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们可以认识到矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殐性质，联系前面学过的三角形知识，我们会发现矩形和菱形中能得到很多特殊的三角形，因此在解决矩形、菱形问题时经常会用到特殊三角形的知识．请你运用所学的知识解答下面的题目．

如图所示，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D、E两点分别为 $A B$ 、 $A C$ 两边的中点，过点C作 $A B$ 的平行线，与 $D E$ 的延长线相交于点F，连接 $C D 、 A F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形；

(2)、当 $∠ B$ 满足什么条件时，四边形 $A D C F$ 是正方形？请说明理由．

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23. 综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．

【方法提示】

数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．

【动手操作】

如图，将一张矩形纸片 $A B C D$ 沿长边进行折叠（已知 $A D > A B$ ），使点C落在 $A D$ 边上，折痕为 $E F$ （点E在 $B C$ 边上，点F在 $A D$ 边上），折叠后点C，D的对应点分别为点G，H．

【问题探究】

(1)、判断图中四边形 $C E G F$ 的形状，并证明你的结论．

(2)、随着点C落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中 $A B = 2$ ， $B C = 6$ ，求线段 $B E$ 长度的取值范围．

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