山东省烟台市龙口市2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式中不是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ B、 $\sqrt{- 4}$ C、 $\sqrt{0}$ D、 $\sqrt{{(a - b)}^{2}}$

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2. 方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x + 3 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则（）

A、 $m \neq$ 一 $1$ B、 $m \neq 1$ C、. $m \neq 2$ D、 $m \neq 3$

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3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{0.4}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根

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5. 下列计算中，正确的是（　　）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 7$ C、 $\sqrt{4 \frac{1}{2}} = 2 \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = 6$

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6. 下列二次根式中与 $\sqrt{24}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{30}$ C、 $\sqrt{48}$ D、 $\sqrt{54}$

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7. 一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 用配方法解方程，配方结果是（）

A、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16}$ B、 $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{8}$ C、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{1}{8}$ D、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{16} = - 1$

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8. 某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（）

A、 $2.1 %$ B、 $11 %$ C、 $10 %$ D、 $10 %$ 或 $21 %$

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9. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程 $x^{2} - 13 x + 36 = 0$ 的两根，则该三角形的周长为（）

A、4 B、13 C、4或9 D、13或18

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10. 用一条长为 $40 cm$ 的绳子围成一个面积为 $a {cm}^{2}$ 的长方形，a的值不可能为（）

A、120 B、100 C、60 D、20

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二、填空题

11. 方程x²=4x的解．

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12. 比较大小： $\sqrt{5} - 3$ $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$ (填“＞”“＜”或“＝”)

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为2和-3，则 $x^{2} + b x + c$ 因式分解的结果是．

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14. $α$ 、 $β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + k - 1 = 0$ 的两个实数根，且 $α^{2} - 2 α - β = 4$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 观察分析下列数据：0，－ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ，－3，2 $\sqrt{3}$ ，－ $\sqrt{15}$ ，3 $\sqrt{2}$ ，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是． (结果需化简)

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16. 设x ， y均为实数，且 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3} + \sqrt{3 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x}} + 2$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的值为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{48} \times 3 \sqrt{18} \div \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}} - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6})$ ；

(3)、 $\frac{2}{3 x} \sqrt{9 x^{3}} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x (x - 2) + x - 2 = 0$ ；

(2)、 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ ．

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19. 已知 $x = 1 - \sqrt{2}$ ， $y = 1 + \sqrt{2}$ ，求 $x^{2} + y^{2} - x y - 2 x + 2 y$ 的值

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20. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，求m的值．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - a x + a - 1 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．

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22. 先观察等式，再解答问题：
① $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1} = 1 \frac{1}{2}$ ；
② $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1} = 1 \frac{1}{6}$ ；
③ $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1} = 1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、请你根据以上三个等式提供的信息，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}}$ 的结果，并验证；

(2)、请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含 $n$ 的式子表示的等式（ $n$ 为正整数）．

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23. 阅读下面的材料：
解方程 $x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0$ 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设 $x^{2} = y$ ，则 $x^{4} = y^{2}$ ，

∴原方程可化为 $y^{2} - 7 y + 12 = 0$ ，

解得 $y_{1} = 3$ ， $y_{2} = 4$ ，

当 $y = 3$ 时， $x^{2} = 3$ ， $x = \pm \sqrt{3}$ ，

当 $y = 4$ 时， $x^{2} = 4$ ， $x = \pm 2$ ．

∴原方程有四个根是 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3}$ ， $x_{3} = 2$ ， $x_{4} = - 2$ ．

以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．

运用上述方法解答下列问题：

(1)、解方程： ${(x^{2} + x)}^{2} - 5 (x^{2} + x) + 4 = 0$ ；

(2)、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 ${(a^{2} + b^{2})}^{2} - 3 (a^{2} + b^{2}) = 10$ ，试求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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24. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：

(1)、若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；

(2)、若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 16 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，动点P、Q分别以 $3 cm/s$ ， $2 cm/s$ 的速度从点A ， C同时出发，沿规定路线移动．

(1)、若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P ， Q两点之间的距离是 $10 cm$ ？

(2)、若点P沿着 $A B \to B C \to C D$ 移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间 $△ P B Q$ 的面积为 $12 {cm}^{2}$ ？

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