山东省济宁市任城区2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A、四条边都相等 B、对角线互相垂直且平分 C、对角线平分一组对角 D、对角线相等

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 16 = 0$ 的根是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 4$ C、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 4$

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4. 代数式 $\frac{\sqrt{x - 5}}{x - 6}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 5$ B、 $x ≥ 5$ C、 $x > 5$ 且 $x \neq 6$ D、 $x ≥ 5$ 且 $x \neq 6$

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ， $D E ∥ A C ， C E ∥ B D$ ，已知 $A B = 6 cm ， B C = 8 cm$ ，则四边形 $O D E C$ 的周长为（）

A、 $10 cm$ B、 $12 cm$ C、 $16 cm$ D、 $20 cm$

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6. 下列各式计算正确的是（）

A、 $3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 1$ B、 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$

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7. 用配方法解方程x²+8x+7=0，则配方正确的是（）

A、（x+4）²=9 B、（x-4）²=9 C、（x-8）²=16 D、（x+8）²=57

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8. 若 $(m - 2) x^{m^{2} - 2} - m x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中无重叠放入面积分别为16cm²和12 cm²的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A、 $(8 - 4 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(4 - 2 \sqrt{3}) c m^{2}$ C、 $(16 - 8 \sqrt{3}) c m^{2}$ D、 $(8 \sqrt{3} - 12) c m^{2}$

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10. 如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E ．连接EC ，若 $C E = C D$ ，则△CDE的面积是（）

A、18 B、 $4 \sqrt{13}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、14.4

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二、填空题

11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (k + 3) x + 2 = 0$ 的一个根是 $- 2$ ，则k等于．

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12. 写出一个与 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 是同类二次根式的最简二次根式．（不与原数相等）

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13. 在菱形ABCD中， $A B = 6$ ， $∠ C A B = 30 °$ ，延长AB、CD，作矩形AECF，则矩形的边CE的长度是．

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14. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 9 x = - 14$ 的两根，则这个等腰三角形的周长是．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C = 6 \sqrt{2}$ ， $B D = 6$ ， $E$ 是 $B C$ 边的中点，P、M分别是 $A C$ ， $A B$ 上的动点，连接 $P E$ 、 $P M$ ，则 $P E + P M$ 的最小值是．

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三、解答题

16. 计算： ${(\sqrt{6} - \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{2} (\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}})$ ．

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17. 用配方法解 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，请求出方程的解；

(2)、试说明方程总有两个实数根．

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19. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接CE、DE、AC，CE与AD交于点F．

(1)、求证：四边形ACDE是平行四边形；

(2)、若∠AFC=2∠B．求证：四边形ACDE是矩形．

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20. 某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，求增加了多少行？

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21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若AB＝ $\sqrt{10}$ ， BD＝2，求OE的长．

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22. 阅读下面的材料，解决问题：
像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ；

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ； $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2022}} + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小，并说明理由．

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23. 问题解决：如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E = A F ， D E ⊥ A F$ 于点 $G$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由.
类比迁移：如图2，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F ， ∠ A E D = 60 ° ， A E = 6 ， B F = 2$ ，求 $D E$ 的长.

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