广东省深圳市南山区南山外国语（集团）2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如果 $x < y$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $x - 1 > y - 1$ B、 $x + 1 > y + 1$ C、 $- 2 x < - 2 y$ D、 $2 x < 2 y$

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3. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（）．

A、25° B、30° C、35° D、40°

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4. 若多项式x²+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（　　）

A、4 B、﹣4 C、±2 D、±4

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5. 根据图象，可得关于x的不等式 $k_{1} x < k_{2} x + b$ 的解集是（）

A、 $x < 2$ B、 $x > 2$ C、 $x < 3$ D、 $x > 3$

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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l₁∥l₂ ，且分别与△ABC的两条边相交，若∠1＝40°，∠2＝23°，则∠C的度数为（　　）

A、40° B、50° C、63° D、67°

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7. 下列说法正确的个数是（）
①有两条边、一个角相等的两个三角形全等；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③全等三角形对应边上的中线相等；④有一个角是60°的三角形是等边三角形；⑤5cm，12cm，13cm三条长度的线段能构成直角三角形．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $B C = 6 cm$ ， $△ C B D$ 的周长为 $14 cm$ ，分别以A、B两点为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M ， N ，连接 $M N$ 与 $A C$ 相交于点D ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $22 cm$ B、 $16 cm$ C、 $17 cm$ D、 $20 cm$

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9. 不等式组 ${\begin{array}{l} 6 x + 3 > 3 (x + a) \\ \frac{x}{2} - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的所有整数解的和为9，则整数 $a$ 的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， D为BC的中点， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E.过点B作 $B F / / A C$ 交DE的延长线于点F ，连接CF ， $A F .$ 现有如下结论：
$① A D$ 平分 $∠ C A B$ ； $② B F = 2$ ； $③ A D ⊥ C F$ ； $④ A F = 2 \sqrt{5}$ ； $⑤ ∠ C A F = ∠ C F B$ ．其中正确的结论有 $($ 　　 $)$

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题

11. 已知：点 $A (- 2022 ， - 1)$ 与点 $B (a ， b)$ 关于原点O成中心对称，则a+b= ．

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12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是 cm．

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13. 把多项式 $a x^{2} - a y^{2}$ 分解因式的结果为．

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14. 如图， $△ A B C$ 中，AD是 $∠ A$ 的角平分线，BE是 $△ A B D$ 边AD上的中线，若 $△ A B C$ 的面积是24， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $△ A B E$ 的面积是．

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15. △ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为．

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三、解答题

16. 解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．
${\begin{matrix} 5 x + 7 > 3 (x + 1) & ① \\ 1 - \frac{3}{2} x \leq \frac{1}{2} x - 1 & ② \end{matrix}$ ．

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17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点 $△ A B C$ （顶点是网格线的交点）．

（ 1 ）先将 $△ A B C$ 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 2 ）将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕 $B_{1}$ 点顺时针旋转 $90 °$ ，得 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ；

（ 3 ）求（2）中点 $A_{1}$ 旋转到点 $A_{2}$ 所经过的弧长 $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ （结果保留π）．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $A C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点E ， $D F ⊥ B C$ 于点F ，且 $D E = D F$ ，连接 $B D$ ，点G在 $B C$ 的延长线上，且 $C D = C G$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(2)、若 $B F = 3$ ，求 $C G$ 的长．

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19. 某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：

(1)、求出足球和篮球的单价；

(2)、若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？

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20. 阅读材料：
①用配方法因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ．

解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$

$= {(a + 3)}^{2} - 1$

$= (a + 3 - 1) (a + 3 + 1)$

$= (a + 2) (a + 4)$ ．

②若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2$ ，利用配方法求M的最小值．

解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 ＝ a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 ＝ {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$ ．

∵ ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ， ${(b - 1)}^{2} \geq 0$ ，

∴当 $a = b = 1$ 时，M有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

(1)、在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式： $a^{2} + 4 a +$ = ．

(2)、用配方法因式分解： $a^{2} - 24 a + 143$ ．

(3)、若 $M = - \frac{1}{4} a^{2} + 2 a - 1$ ，求M的最大值．

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21. 已知：在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中， $O A = O B ， O C = O D$ ．

(1)、如图①，若 $∠ A O B = ∠ C O D = 60 °$ ，求证： $A C = B D$ ．

(2)、如图②，若 $∠ A O B = ∠ C O D = α$ ，则 $A C$ 与 $B D$ 间的等量关系式为， $∠ A P B$ 的大小为（直接写出结果，不证明）

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22. 如图：已知 $A (a ， 0)$ 、 $B (0 ， b)$ ，且a、b满足 ${(a - 2)}^{2} + | 2 b - 4 | = 0$ ．

(1)、如图1，求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、如图2，点C在线段 $A B$ 上（不与A、B重合）移动， $A B ⊥ B D$ ，且 $∠ C O D = 45 °$ ，猜想线段 $A C$ 、 $B D$ 、 $C D$ 之间的数量关系并证明你的结论；

(3)、如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接 $P B$ ，将线段 $P B$ 绕点P顺时针旋转 $90 °$ 至 $P E$ ，直线 $A E$ 交y轴于点Q ，当P点在x轴上移动时，请判断：线段 $B E$ 和线段 $B Q$ 中，哪条线段长为定值，并求出该定值．

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