广东省广州市增城区2022-2023学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-05-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 5$ B、 $x > 5$ C、 $x \leq 5$ D、 $x \neq 5$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $\sqrt{34}$

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3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{9}$

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4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、 $1$ ， $2$ ， $2$ B、 $4$ ， $7$ ， $5$ C、 $9$ ， $12$ ， $15$ D、 $2$ ， $3$ ， $4$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{3}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$

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6. 如图， $O A = 6$ ， $O B = 8$ ， $A B = 10$ ，点A在点O的北偏西 $40 °$ 方向，则点B在点O的（）

A、北偏东 $40 °$ B、北偏东 $50 °$ C、东偏北 $60 °$ D、东偏北 $70 °$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧作等边三角形 $A D E$ ，则 $∠ A E B$ 度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $22.5 °$ D、 $30 °$

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8. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分

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9. 下列命题中，逆命题是真命题的是（）

A、两直线平行，内错角相等 B、若a＝b，那么a²＝b² C、对顶角相等 D、若a＝b，那么|a|＝|b|

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10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）

A、(3，1)或(3，3) B、(3， $\frac{1}{2}$ )或(3，3) C、(3， $\frac{1}{2}$ )或(3，1) D、(3， $\frac{1}{2}$ )或(3，1)或(3，3)

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $D E = 2$ ，则 $B C =$ ．

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ，周长是 $28$ ，则AB= ．

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13. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{5}$ ＝.

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14. 如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
$①$ 测得 $B D = 9$ 米；（注： $B D ⊥ C E$ ）

$②$ 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C = 15$ 米；

$③$ 牵线放风筝的小明身高 $1.6$ 米．

则风筝的高度CE是米

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15. 如图，数轴上点A表示的数为a，化简： $a + \sqrt{a^{2} - 2 a + 1} =$ ．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的周长为20，面积为24，P是对角线 $B D$ 上一点，分别作P点到直线 $A B$ 、 $A D$ 的垂线段 $P E$ 、 $P F$ ，则 $P E + P F$ 等于

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三、解答题

17. 已知 $x$ = $\sqrt{5} - 1$ ，求代数式 $x^{2} + 5 x - 6$ 的值.

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18. 计算： $4 \sqrt{6} \div \sqrt{2} + \sqrt{12}$ ．

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19. 已知，如图， $▱ A B C D$ 中，E，F分别是边 $A B$ 、 $C D$ 的中点．求证：四边形 $E B F D$ 是平行四边形．

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20. 如图，点D在 $△ A B C$ 中， $∠ B D C =90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = B D = 4$ ， $C D = 2$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求图中阴影部分的面积．

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21. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠，点 $D$ 落在点 $F$ 处， $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C F E$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，求 $A E$ 的长．

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22. 如图，在笔直的公路 $A B$ 旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为 $A C = 15 km$ ，与公路上另一停靠站B的距离为 $B C = 20 km$ ，停靠站A、B之间的距离为 $A B = 25 km$ ，为方便运输货物现要从公路 $A B$ 上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且 $C D ⊥ A B$ ．

(1)、请判断 $△ A B C$ 的形状？

(2)、求修建的公路 $C D$ 的长．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点D．

(1)、尺规作图：作 $C D$ 的垂直平分线，分别交 $A C$ ， $B C$ 于点E，F，连接 $D E$ ， $D F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

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24. 材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如： $\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ 的有理化因式为；

(2)、将式子 $\frac{11}{2 \sqrt{5} - 3}$ 分母有理化；

(3)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{2023} + \sqrt{2021}}$ ．

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25. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，M是 $B C$ 边上的一点，连接 $A M$ ，作 $M N ⊥ A M$ 于点M，交正方形 $A B C D$ 的外角 $∠ D C E$ 的平分线于点N

(1)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，当M是 $B C$ 边上的中点时，求 $A M$ 的长；

(2)、求证： $A M = M N$ ；

(3)、如图2，连接 $A N$ ，交 $C D$ 边于点F，连接 $M F$ ，探究线段 $B M$ 、 $M F$ 和 $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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