北京市通州区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-05-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的自变量x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \neq 2$ C、 $x \geq 2$ D、全体实数

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2. 如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）

A、 $135 °$ B、 $360 °$ C、 $1080 °$ D、 $190 °$

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3. 如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，白棋③的坐标是 $(- 1 ， - 3)$ ，则黑棋①的坐标是（）

A、 $(- 3 ， - 5)$ B、 $(0 ， 0)$ C、 $(1 ， - 4)$ D、 $(2 ， - 2)$

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C A B = 40 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O ， $∠ A O D = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则矩形对角线的长为（）

A、4 B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 下列命题正确的是（）．

A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、有一组邻边相等的四边形是菱形 D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，菱形 $O A B C$ ， O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为 $(- 3 ， 4)$ ，则顶点B的坐标是（）

A、 $(- 5 ， 4)$ B、 $(- 6 ， 3)$ C、 $(- 8 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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8. 如图，若点 $P$ 为函数 $y = k x + b (- 4 \leq x \leq 4)$ 图象上的一动点， $m$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离，则下列图象中，能表示 $m$ 与点 $P$ 的横坐标 $x$ 的函数关系的图象大致是（）．

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 3 ， 1)$ 关于x轴的对称点的坐标是．

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A D$ 上， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $B C = 3$ ， $D E = 2$ ，则 $A B =$ ．

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11. 函数y=kx(k $\neq$ 0)的图象上有两个点A₁( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )，A₂( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )，当 $x_{1}$ < $x_{2}$ 时， $y_{1}$ > $y_{2}$ ，写出一个满足条件的函数解析式.

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12. 如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．

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13. 如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则方程组 ${\begin{array}{l} y = x + b \\ y = k x + 6 \end{array}$ 的解是.

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14. 图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形，则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．

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15. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，折叠纸片使 $A D$ 边与对角线 $B D$ 重合，折痕为 $D E$ ，则 $A^{'} B =$ ， $A E =$ ．

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16. 如图，点A ， B ， C在一次函数 $y = - 2 x + m$ 的图象上，它们的横坐标依次为-1，0.5，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是．

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三、解答题

17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ 于点E ， $B F ⊥ A C$ 于点F ．求证： $A F = C E$ ．

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18. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B ，

(1)、求点A ， B的坐标；

(2)、画出该函数的图象；

(3)、点 $P (0 ， 2)$ ，连结 $A P$ ，求 $△ P A B$ 的面积．

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19. 下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在 $R t △ A B C$ 中，∠ABC＝90°．

求作：矩形ABCD ．

作法：如图，

①分别以点A ， C为圆心、大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于E ， F两点；

②作直线EF ，交AC于点P；

③连接BP并延长至点D ，使得PD＝BP；

④连接AD ， CD ．

则四边形ABCD是矩形．

根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接AE ， CE ， AF ， CF ．

∵AE＝CE ， AF＝CF ，

∴EF是线段AC的垂直平分线．

∴AP＝．

又∵BP＝DP ，

∴四边形ABCD是平行四边形（填推理的依据）．

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形（填推理的依据）．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x - 3$ 与直线 $y = k x (k \neq 0)$ 交于点 $A (1 ， n)$ ．

(1)、求点A的坐标及直线 $y = k x (k \neq 0)$ 的表达式；

(2)、若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足 $P A = O A$ ，求点P的坐标．

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21. 定义：若点P为四边形 $A B C D$ 内一点，且满足 $∠ A P B + ∠ C P D = 180 °$ ，则称点P为四边形 $A B C D$ 的一个“互补点”．

(1)、如图1，点P为四边形 $A B C D$ 的一个“互补点”，若 $∠ A P D = 60 °$ ，则 $∠ B P C =$ ；

(2)、如图2，点P是菱形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上的任意一点（不与点B ， D重合），求证：点P为菱形 $A B C D$ 的一个“互补点”．

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22. 为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反应的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．

(1)、小乐家五月份用水8吨，应交水费多少元？

(2)、按上述分段收费标准，小乐家三月份交水费36元，问三月份用水多少吨？

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (4 ， 2)$ ，点 $B (0 ， - 2)$ ．

(1)、求k ， b的值；

(2)、当 $x > 1$ 时，对于x的每一个值，函数 $y = n x (n \neq 0)$ 的值小于一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的值，直接写出n的取值范围．

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24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝ $\frac{1}{2}$ AC，连接AE、CE.

(1)、求证：四边形OCED为矩形；

(2)、若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长.

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25. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $y = \frac{4}{| x | + 1}$ 的图象并探究该函数的性质．

(1)、绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；

x

…

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$- \frac{1}{3}$

0

$\frac{1}{3}$

1

2

3

…

y

…

1

$\frac{4}{3}$

2

3

4

3

m

$\frac{4}{3}$

1

…

②描点：根据表中的数值描点 $(x ， y)$ ，补充描出点 $(1 ， m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．

(2)、探究函数性质
写出函数 $y = \frac{4}{| x | + 1}$ 的一条性质：．

(3)、运用函数图象及性质
①观察你所画的函数图象，回答问题：若点 $A (a ， c)$ ， $B (b ， c)$ 为该函数图象上不同的两点，则 $a + b =$ ；

②根据函数图象，写出不等式 $\frac{4}{| x | + 1} \leq 2$ 的解集是．

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26. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点P是边 $C D$ 上的一点（不与点C、D重合），连接 $B P$ ， $∠ P B C = α$ ， O为 $B P$ 的中点，过点P作 $P E ⊥ B D$ 于E ，连接 $E O ， A E$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ P O E$ 的大小（用含a的式子表示）；

(3)、用等式表示线段 $A E$ 与 $B P$ 之间的数量关系，并证明．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x ， y)$ 和点 $M (m ， 0)$ ，给出如下定义：如果 $| x - m | \leq k$ 且 $| y | \leq k$ （k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．

(1)、①在点 $P_{1} (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{2} (0 ， - 2)$ ， $P_{3} (- 1 ， - 1)$ 中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；
②如果点P在函数 $y = 2 x + b$ 的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．

(2)、如果直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上存在点 $P (x ， y)$ 是点 $M (m ， 0)$ 关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．

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x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$	1	2	3	…
y	…	1	$\frac{4}{3}$	2	3	4	3	m	$\frac{4}{3}$	1	…