人教版八年级下数学期末复习知识点扫盲满分计划——17.2勾股定理逆定理

试卷更新日期：2023-05-26 类型：复习试卷

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一、判断三边是否构成直角三角形

1. 如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．

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2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、9，12，15 B、6， 8， 10 C、 $\sqrt{5}$ ， 2，3 D、1.5，2.5， 3.5

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3. 已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a - b = 8$ ， $a b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{17}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 长比 $A C$ 长大1， $B C = 15$ ， D是 $A B$ 上一点， $B D = 9$ ， $C D = 12$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、求 $A C$ 长．

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5. 如图，四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24.

(1)、判断∠D是否是直角，并说明理由；

(2)、求∠A+∠C的度数.

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2 n$ ， $b = n^{2} - 1$ ， $c = n^{2} + 1 (n > 1)$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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二、网格中判断直角三角形

7. 如图，每个小正方形的边长为1

(1)、求四边形 $A B C D$ 的周长；

(2)、 $∠ B C D$ 是直角吗？说明理由.

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8. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格点.已知 $A 、 B 、 C$ 均为格点，仅用无刻的直尺作出符合下列问题的图形.

(1)、在图1中，线段 $A B ＝$ ， $∠ A C B ＝$ 度；

(2)、在图1中，在 $A B$ 上作出点 $D ，$ 使得 $D A ＝ D C$ ；

(3)、在图2中， $A B$ 交其中一条网格线于点E，在平面中作一个点F，使得 $E F = \sqrt{10}$ ，

(4)、在图3中，点A是格点，点P在网格线上，将线段 $A P$ 向左平移三个单位得线段 $M N$ .

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9. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 $1$ ，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）．

(1)、在图 $1$ 中，画一个正方形，使它的面积是 $10$ ；

(2)、在图 $2$ 中，画一个三角形 $A B C$ ，使它的三边长分别为： $A B = \sqrt{2}$ 、 $B C = 2 \sqrt{2}$ 、 $A C = \sqrt{10}$ ，并计算 $A C$ 边上的高为．（直接写出结果）

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10. 如图，每个小正方形的边长都为1， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求AB边上的高h．

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11. 如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)、求 $△ A B C$ 的周长．

(2)、求 $∠ A B C$ 的大小．

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三、利用勾股定理逆定理求解

12. 如图已知 $△ A B C$ 中， $A B = 5 c m$ ， $B C = 26 c m$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 12 c m$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（） $c m^{2}$ ．

A、30 B、130 C、60 D、120

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13. 如图，小区有一块三角形空地 $A B C$ ，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路 $A D 、 D E$ 隔开， $D E ⊥ A B$ ．经测量， $A B = 15$ 米， $A C = 13$ 米， $A D = 12$ 米， $D C = 5$ 米．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、求小路 $D E$ 的长

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14. 已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 5$ ， D是腰 $A B$ 上一点，且 $C D = 4$ ， $B D = 3$ ，则 $A D$ 的长为.

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15. 如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．

(1)、判断∠D是否是直角，并说明理由．

(2)、求四边形ABCD的面积．

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16. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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四、勾股定理逆定理的实际应用

17. 如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°方向航行，乙船向南偏东50°方向航行， $\frac{1}{2}$ 小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

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18. 八（2）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 $A B$ 的高度，小强测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图①），小云拉着绳子的下端往后退，当她将绳子拉直时，小晨测得此时小云拉绳子的手到地面的距离 $C D$ 为1米，到旗杆的距离 $C E$ 为8米（如图②），请你求出旗杆 $A B$ 的高度．

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19. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（ $A C$ 的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯 $A B$ 长20米，云梯底部距地面3米（ $A E$ 的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（ $B D$ 的长）？

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20. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、海港C受台风影响吗？为什么？

(3)、若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

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21. 如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C.

(1)、若 $A B = 6.5$ 米， $B C = 2.5$ 米.
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？

②竹竿的顶端从A处沿墙 $A C$ 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.

(2)、若 $A C = B C$ ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.

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五、平面展开最短路径

22. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为．

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23. 如图是长 $A B = 4 c m$ 、宽 $B C = 3 c m$ 、高 $B E = 12 c m$ 的长方体容器．

(1)、求底面矩形 $A B C D$ 的对角线的长；

(2)、长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

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24. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 的中点．

(1)、若 $A D = 4$ ，求 $D E$ 的长．

(2)、如图2，F是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = 2 B F$ ，求证： $△ D E F$ 是直角三角形．

(3)、如图3是一个正方体，棱长 $A D = 4$ ， $A B$ 的中点E处有一只蚂蚁，蚂蚁从 $E$ 处出发在正方体表面爬行，经过 $C D$ 上某点P处后继续沿直线方向爬到正方体的顶点G处．当 $E P + P G$ 的值最小时，求 $D P$ 的长．

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25. 如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）

A、 $10 \sqrt{89}$ B、 $50 \sqrt{5}$ C、120 D、130

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26. 如图，长方体的长 $B E = 15 c m$ ，宽 $A B = 10 c m$ ，高 $A D = 20 c m$ ，点M在 $C H$ 上，且 $C M = 5 c m$ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点N，需要爬行的最短距离是 $c m$ .

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六、综合训练

27. 如图，已知 $A C ⊥ B C$ ， $C A = B D = C B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$

(1)、求AB的长；

(2)、求 $△ A B D$ 的面积．

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28. 在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点．

(1)、在图1中，以格点为顶点画 $△ A B C$ ，使三边长分别为 $A B = 3$ 、 $B C = \sqrt{10}$ 、 $A C = 5$ ；

(2)、如图2， $△ A B C$ 各顶点均在格点上，求 $△ A B C$ 的面积和点 $A$ 到 $B C$ 的距离；

(3)、在图3中，以格点为顶点画直角边长为无理数的等腰直角三角形，并说明理由．

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29. 在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D、E在格点上，长度是 $\sqrt{10}$ 的线段是（）

A、AB B、AC C、AD D、AE

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30. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）

A、20cm B、2 $\sqrt{106}$ cm C、（12+2 $\sqrt{34}$ ）cm D、18cm

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31. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 、 B E$ 分别为边 $B C 、 A C$ 的中线，分别交 $B C 、 A C$ 于点D、E.

(1)、若 $C D = 4 ， C E = 3 ， A B = 10$ ，求证： $∠ C = 90 °$ ；

(2)、若 $∠ C = 90 °$ ， $A D = 6$ ， $B E = 8$ ，求 $A B$ 的长.

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32. 如图所示，点 $P$ 是等边三角形 $A B C$ 内的一点，且 $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，若将 $△ P A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转后，得到 $△ P^{'} A B$ ．

(1)、求 $P P^{'}$ 的长；

(2)、 $∠ A P B$ 的度数．

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33. 在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．

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