上海市松江区2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $0$ 、 $0 . \overset{\cdot \cdot}{23}$ 、 $- \sqrt{2}$ 、 $\sqrt[3]{8}$ 、 $\frac{22}{7}$ 、 $π$ 、 $0.1010010001 \dots$ （它的位数无限且相邻两个 $“ 1 ”$ 之间“ $0$ ”的个数依次加 $1$ 个）这七个数中，无理数的个数是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{16 \frac{1}{25}} = 4 \frac{1}{5}$ B、 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、 $\sqrt{a^{2}} = - a (a < 0)$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$

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3. 在同一平面内，已知 $a ∥ b ∥ c$ ，若直线 $a$ 、 $b$ 之间的距离为 $5 c m$ ，直线 $b$ 、 $c$ 之间的距离为 $3 c m$ ，则直线 $a$ 、 $c$ 间的距离为（）

A、 $2 c m$ 或 $8 c m$ B、 $2 c m$ C、 $8 c m$ D、不确定

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4. 下列说法正确的是（）

A、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B、三角形的一个外角大于任何一个内角 C、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D、从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

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二、填空题

5. $\sqrt{64}$ 的立方根是．

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6. $\sqrt{4}$ 的平方根是．

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7. 用幂的形式表示： $\sqrt[3]{7^{2}}$ = ．

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8. 比较大小： $- 9$ $- \sqrt{80}$ ．

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9. 某计算机运算速度的近似数用科学记数法表示为每秒 $2.09 \times 1 0^{10}$ 次，这个近似数据保留了个有效数字．

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10. 化简： $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^{2}} =$ ．

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11. 计算： $\sqrt{8} \div 2^{\frac{1}{2}} =$ ．

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12. 已知 $x^{4} = (- 3)^{4}$ ，则实数x=.

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13. 直角三角形最小的一个外角为度 $.$

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14. 已知， $∠ B$ 与 $∠ A$ 互为邻补角，且 $∠ B = 4 ∠ A$ ，那么 $∠ B$ 为度 $.$

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15. 如图，一共有对同旁内角．

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16. 如图，已知直线 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $O$ ， $E O ⊥ C D$ ， $∠ D O B = 43 °$ ，则 $∠ E O A =$ ．

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17. 如图，已知 $∠ A B C = ∠ B C D$ ， $∠ A C D = 40 °$ ，则 $∠ A =$ ．

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18. 已知边长为 $1$ 的正方形对角线长为 $\sqrt{2}$ ．如图，用数轴的单位长度为边做一个正方形，以表示数 $1$ 的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点 $A$ 、点 $B$ ，则点 $A$ 所表示的数是．

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19. 已知两个形状完全相同的直角三角形 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ ，如图放置，点 $B$ 、 $D$ 重合，点 $F$ 在 $B C$ 上， $A B$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ， $∠ C = ∠ E F B = 90 °$ ， $∠ E = ∠ A B C = 30 °$ ，现将图中的 $△ A B C$ 绕点 $G$ 按每秒 $30 °$ 的速度沿顺时针方向旋转 $180 °$ ，在旋转的过程中， $△ A B C$ 恰有一边与 $D E$ 平行的时间为秒．

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三、解答题

20. 计算： $\sqrt{12} - 3 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - \sqrt{9})$ ．

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21. 计算： ${(\sqrt{15})}^{2} \div \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{6} \times \sqrt{24}$ ．

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22. 计算： $2 7^{\frac{1}{3}} + 1 6^{\frac{3}{4}} + (\frac{4}{\sqrt{3} - 1})^{0} + (- 3)^{- 1}$ ．

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23. 利用幂的运算性质计算： $1 6^{\frac{1}{12}} \times 8^{\frac{1}{2}} \div 2^{- \frac{1}{6}}$ ．

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24. 计算： $(x + 2 \sqrt{x y} + y) \div (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - (\sqrt{x y} + \sqrt{x}) \sqrt{\frac{1}{x}}$ ．

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25. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = (3 x - 15) °$ ， $∠ 2 = (105 - x) °$ ，求 $∠ 1$ 的度数．（请写出过程依据）

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26. 如图，已知 $∠ B E D = ∠ B + ∠ D$ ，请你说明为什么 $A B ∥ C D$ ．

解：  ▲  （请添写辅助线说明），

所以 $∠ B = ∠ 1 ($     $)$ ，

因为 $∠ B E D = ∠ B + ∠ D ($ 已知 $)$ ，

即 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ D$ ，

所以  ▲   $($ $)$ ，

所以 $E F ∥ C D$ $($     $)$ ，

所以 $A B ∥ C D$ $($     $)$ ．

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27. 填空，并把证明过程补充完整．
如图，已知 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $G$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 边上的点，点 $F$ 是线段 $D G$ 上的点，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ 3 = ∠ B .$ 求证： $∠ C = ∠ A E D$ ．
证明： $∵$ 点 $F$ 是线段 $D G$ 上的点，
$∴ ∠ 2 + ∠ D F E = 180 ° ($ $)$ ，
$∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ 1 = ∠ D F E ($ $)$ ．
$($ 请补充证明过程，并写出过程依据 $)$

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28. 数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律： $1 \times 3 + 1 = 2^{2} ， 2 \times 4 + 1 = 3^{2} ， 3 \times 5 + 1 = 4^{2} ， 4 \times 6 + 1 = 5^{2}$ ， …

(1)、请你按照这个规律再写出两个等式：；。

(2)、请将你发现的规律用仅含字母 $n$ （ $n$ 为正整数）的等式表示出来：你发现的规律是．

(3)、请你利用所学习的知识说明这个等式的正确性：

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29. 如图，已知 $△ A B C$ 的面积是 $60$ ，请完成下列问题：

(1)、如图 $1$ ， $△ A B C$ 中，若 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，则 $△ A B D$ 的面积 $△ A C D$ 的面积 $($ 填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；

(2)、如图 $2$ ，若 $C D$ 、 $B E$ 分别是 $△ A B C$ 的 $A B$ 、 $A C$ 边上的中线，求四边形 $A D O E$ 的面积可以用如下方法：
连接 $A O$ ，由 $A D = D B$ 得 $S_{△ A D O} = S_{△ B D O}$ ，
同理，可得 $S_{△ C E O} = S_{△ A E O}$ ．
设 $S_{△ A D O} = x$ ， $S_{△ A E O} = y$ ，则 $S_{△ B D O} = x$ ， $S_{△ C E O} = y$ ．
由题意得 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30$ ， $S_{△ A D C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30$ ．
可列方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 30 \\ x + 2 y = 30 \end{array}$ ，解得，
通过解这个方程组可得四边形 $A D O E$ 的面积为；

(3)、如图 $3$ ， $A D ： D B = 1 ： 3$ ， $C E ： A E = 2 ： 3$ ，请直接写出四边形 $A D O E$ 的面积 $． ($ 不用书写过程 $)$

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