江西省抚州市南城县2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算 $a^{6} \cdot a^{2}$ 的结果是（）

A、 $a^{3}$ B、 $a^{4}$ C、 $a^{8}$ D、 $a^{12}$

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2. 半径是R的圆的周长 $C = 2 π R$ ，下列说法正确的是（）

A、C， $π$ ， R是变量，2是常量 B、C是变量，2， $π$ ， R是常量 C、R是变量，2， $π$ ， C是常量 D、C，R是变量， $2 π$ 是常量

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3. 下列代数运算正确的是（）

A、 $x \cdot x^{6} = x^{6}$ B、 ${(x y^{2})}^{3} = x^{3} y^{6}$ C、 ${(x + 2)}^{2} = x^{2} + 4$ D、 $(2 x^{2} - y) (2 x^{2} + y) = 2 x^{4} - y^{2}$

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4. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是（）

A、30° B、25° C、20° D、15°

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5. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x - 2 y) (- x + 2 y)$ B、 $(- x + 2 y) (- x - 2 y)$ C、 $(- x - 2 y) (x - 2 y)$ D、 $(x + 2 y) (- x + 2 y)$

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6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. 如果一个角等于 $35 °$ ，那么它的补角是．

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8. 黄金是自然界中延展性最好的金属．最薄的金箔的厚度为0.000000091m，数据0.000000091用科学记数法表示为．

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9. 科学家研究发现声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温 $x （ ℃ ）$ 有 $y = 0.6 x + 330$ 的关系，若今天的气温是 $20 ℃$ ，则声音的传播速度是米/秒．

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10. 如图， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A E$ ， $∠ C A E = 42^{\circ}$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为．

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11. 定义一种新运算A※B＝A²+AB ．例如（﹣2）※5＝（﹣2）²+（﹣2）×5＝﹣6．按照这种运算规定，（x+2）※（2﹣x）＝20，则x＝．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 ° ， ∠ C = 50 °$ ， D是线段 $A C$ 上一个动点，连接 $B D$ ，把 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点C落在同一平面内的点 $C^{'}$ 处，当 $D C^{'}$ 平行于 $△ A B C$ 的边时， $∠ C D B$ 的大小为．

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三、解答题

13.

(1)、用乘法公式计算： $199 \times 201$

(2)、计算： ${(- 1)}^{2023} - {(3.14 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

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14. 如图，在方格纸中，点C在直线AB外．

(1)、过点C画AB的垂线CE；

(2)、过点C画AB的平行线CH；

(3)、通过你的观察，CH与CE的位置关系为．

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15. 如图，直线AB与CD相交于点O， $E O ⊥ C D$ 于点O，OF平分 $∠ A O C$ ．若 $∠ B O E$ ： $∠ A O C$ =4：5，求 $∠ E O F$ 的度数

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16. 先化简 $[(2 x + y) (2 x - y) + {(x - y)}^{2} - 2 x (x - 3 y)] \div x$ ，再求值，其中 $x = 2 ， y = - \frac{1}{2}$

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17. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $B C = 8$ ， $C D = 5$ ，点E为边 $A D$ 上一动点，连接 $C E$ ，随着点E的运动，四边形 $A B C E$ 的面积也发生变化．

(1)、写出四边形 $A B C E$ 的面积y与 $A E$ 的长 $x (0 < x < 8)$ 之间的关系式．

(2)、当四边形 $A B C E$ 的面积为25时，求 $D E$ 的长．

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18. 补充完成下面的推理过程．
如图，已知点 $D ， E ， F$ 分别是 $Δ A B C$ 的边 $B C ， A C ， A B$ 上的点， $D E / / A B ， D F / / A C$ ．

求证： $∠ F D E = ∠ A$ ．

证明： $∵ D E / / A B$ ，（已知）

$∴ ∠ F D E =$   ▲  （  ）

$∵ D F / / A C ，$ （  ）

$∴ ∠ A =$   ▲  （  ）

$∴$   ▲   $=$   ▲  （  ）

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19. 规定两数a，b之间的一种运算，记作 $(a ， b)$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $(a ， b) = c$ ．例如：
∵ $2^{3} = 8$ ， ∴ $(2 ， 8) = 3$

(1)、根据上述规定，填空： $(3 ， 81) =$ ， $(4 ， 1) =$ ， $(2 ， \frac{1}{4}) =$ ；

(2)、小明在研究这种运算时发现一个现象： $(3^{n} ， 4^{n}) = (3 ， 4)$ ，小明给出了如下的理由：
设 $(3^{n} ， 4^{n}) = x$ ，则 ${(3^{n})}^{x} = 4^{n}$ ，即 ${(3^{x})}^{n} = 4^{n}$ ，

∴ $3^{x} = 4$ ，即 $(3 ， 4) = x$ ，

∴ $(3^{n} ， 4^{n}) = (3 ， 4)$ ．

请你尝试运用这种方法判断 $(3 ， 7) + (3 ， 8) = (3 ， 56)$ 是否成立，若成立，请说明理由．

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20. 县建昌大道上安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为 $0.2 m$ ，立柱间距为 $3 m$ ．

(1)、根据图中信息，将表格补充完整；
立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度/m
0.2
3.4
9.8
…

(2)、设有x根立柱，护栏总长度为 $y m$ ，求y与x之间的关系式．

(3)、求护栏总长度为 $93 m$ 时，立柱的根数．

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21. 上周末，小明坐公交车到象山公园游玩，他从家出发0.8小时后达到图书城，逗留一段时间后继续坐公交车到象山公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往象山公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：

(1)、图中自变量是，因变量是；

(2)、小明家到象山公园的路程为km，小明在图书城逗留的时间为h；

(3)、小明出发小时后爸爸驾车出发；

(4)、图中A点表示；

(5)、小明从图书城到象山公园的平均速度为km/h，小明爸爸驾车的平均速度为km/h；

(6)、小明从家到图书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为．

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22. 完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $(2023 - x) (x - 2018) = 4$ ，求 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2018)}^{2}$ 的值．

解：设 $2023 - x = a ， x - 2018 = b$ ，则 $(2023 - x) (x - 2018) = a b = 4$ ， $a + b = (2023 - x) + (x - 2018) = 5$ ，

所以 ${(2023 - x)}^{2} + {(x - 2018)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若 $x + y = 10 ， x^{2} + y^{2} = 52$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、填空：
①若 $(4 - x) x = 5$ ，则 ${(4 - x)}^{2} + x^{2} =$ ；
②若 $(4 - x) (5 - x) = 8$ ，则 ${(4 - x)}^{2} + {(5 - x)}^{2} =$ ．

(3)、如图，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C 、 B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 48$ ，求图中阴影部分面积．

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23. 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：

(1)、探究结论：如图1， $A O ∥ C P$ ， $O B ∥ P D$ ，则 $∠ A O B$   ▲   $∠ C P D$ ：
如图2， $A O ∥ C P$ ， $O B ∥ P D$ ，则 $∠ A O B + ∠ C P D =$   ▲
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角  ▲  或  ▲

(2)、应用结论：①若两个角的两边分别平行，其中一个角 $α$ 是另一个角的2倍少60°，则 $α$ 角的度数为  ▲  ；
②在图3中，五边形 $A B C D E$ ，点G、F分别在 $A B$ 、 $A E$ 上，将∠A沿 $G F$ 翻折得到 $∠ A^{^{'}}$ ， $A^{'} G ∥ C B$ ， $A^{'} F ∥ C D$ ， $∠ A = 46 °$ ， $D E ∥ B C$ ，求 $∠ D$ 的度数．

(3)、拓展应用：在图4中， $A D ∥ C F$ ， $D E ∥ B C$ ， $A B ∥ F H$ ， $D E ⊥ P E$ ， $A D$ 平分 $∠ E D P$ ， G点是线段 $P D$ 上的一个动点，若 $△ D E G$ 中有两个相等的角， $∠ B = 60 °$ ， $∠ C F H = 20 °$ ，直接写出 $∠ P E G$ 的度数．

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立柱根数	1	2	3	4	5	…
护栏总长度/m	0.2	3.4		9.8		…