安徽省合肥市包河区2022-2023学年七年级下学期4月期中数学试题

试卷更新日期：2023-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在实数 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$ 中，有理数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 若 $m > n$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $m + 2 < n + 2$ B、 $m - 3 < n - 3$ C、 $- 5 m < - 5 n$ D、 $\frac{m}{6} < \frac{n}{6}$

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3. 如图是苏阿姨手机上显示的太原市某日空气质量情况，其中PM2.5值为24微克/m，即0.000024克/m．数据0.000024用科学记数法表示为（）

A、2.4×10⁵ B、24×10^－4 C、2.4×10^－5 D、0.24×10^－6

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4. 关于x的方程 $x - 5 = - 3 a$ 解为正数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a ＞ \frac{5}{3}$ D、 $a ＜ \frac{5}{3}$

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5. 下列各运算中，计算正确的是（　　）

A、 $a^{2} - 3 a^{2} = - 2 a^{4}$ B、 $- 2 b^{10} \div b^{2} = 2 b^{5}$ C、 $(m + n)^{2} = m^{2} + n^{2}$ D、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 8 x^{6}$

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6. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > 3 \\ a - x > 1 \end{array}$ 的解集为 $1 < x < 3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、0

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7. 若 $\sqrt{a - 1} + (b - 1)^{2} = 0$ ，则 $a b$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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8. 从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式（）

A、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $(2 a + b) (a - b) = a^{2} + a b - 2 b^{2}$

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9. 若关于 $x$ 的多项式 $(x^{2} + a x) (x - 2)$ 展开合并后不含 $x^{2}$ 项，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- 2$

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10. 定义 $[x]$ 为不超过x的最大整数，如 $[3.6] = 3$ ， $[0.6] = 0$ ， $[- 3.6] = - 4$ ．对于任意实数x，下列式子中正确的是（）

A、 $[\sqrt{13}] = 4$ B、 $[x + y] \leq [x] + [y]$ C、 $[n + x] > n + [x]$ （n为整数） D、 $0 \leq x - [x] < 1$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{16} + (- 2)^{0} =$ ．

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12. 不等式 $3 x - 4 (x - 1) < 1$ 的解集是．

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13. 计算： $(- 7)^{3} \times {(- \frac{1}{7})}^{4} =$ ．

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14. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x > a \\ 2 x > 3 (x - 2) + 5 \end{array}$ 仅有两个整数解，则整数 $a$ 的值是．

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15. 如图1，7张长为 $a$ ，宽为 $b (a > b)$ 的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设 $P C = x$ ．

(1)、 $A E =$ ；（用含 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 的代数式表示）

(2)、当 $B C$ 的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的 $a$ 、 $b$ 的一组数值 $a =$ ， $b =$ ．

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt[3]{- 27} + \sqrt{\frac{1}{4}} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 2) \geq 2 x + 5 \\ \frac{x}{3} - 1 < \frac{x - 2}{2} \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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18. 先化简，再求值： $(2 x + 3) (2 x - 3) - 4 x (x - 1) + {(x - 2)}^{2}$ ，其中 $x = - \sqrt{5}$ ．

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19. 已知 ${(a^{x})}^{y} = a^{6}$ ， ${(a^{x})}^{2} \div a^{y} = a^{3}$

(1)、求 $x y$ 和 $2 x - y$ 的值；

(2)、求 $4 x^{2} + y^{2}$ 的值.

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20. 2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．

(1)、该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？

(2)、该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？

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21. 找规律并解决问题

(1)、填写下表．
$a$
$0.0001$
$0.01$
1
100
10000
$\sqrt{a}$
$0.1$
1
10
想一想：上表中已知数 $a$ 的小数点的移动与它的算术平方根 $\sqrt{a}$ 的小数点移动之间的规律为：已知数 $a$ 的小数点每移动位，它的算术平方根 $\sqrt{a}$ 的小数点相应移动位；

(2)、已知 $\sqrt{15} = k$ ， $\sqrt{0.15} = a$ ， $\sqrt{1500} = b$ ，用 $k$ 的代数式分别表示 $a$ ， $b$ ．

(3)、如果 $\sqrt{x} = 0.01 \sqrt{7}$ ，求 $x$ 的值．

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22. 定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与 $11$ 的商记为 $f (a)$ ．
例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数 $21$ ，新两位数与原两位数的和为 $21 + 12 = 33$ ，和与 $11$ 的商为 $33 \div 11 = 3$ ，所以 $f (12) = 3$ ．

根据以上定义，回答下列问题：

(1)、填空：下列两位数： $40$ ， $51$ ， $66$ 中，“慧泉数”为；

(2)、计算：
① $f (13)$ ；② $f (10 a + b)$ ；

(3)、如果一个“慧泉数” $m$ 的十位数字是 $x$ ，个位数字是 $x - 4$ ，另一个“慧泉数” $n$ 的十位数字是 $x - 5$ ，个位数字是 $2$ ，且满足 $f (m) - f (n) < 8$ ，求 $x$ ．

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$a$	$0.0001$	$0.01$	1	100	10000
$\sqrt{a}$		$0.1$	1	10