安徽省滁州市定远县2022--2023学年七年级下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列运算中，结果是 $a^{5}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3}$ B、 $a^{11} - a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{2}$ D、 ${(- a)}^{5}$

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2. 若x²+kx+9是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值为（）

A、6 B、-6 C、 $\pm 6$ D、无法确定

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{5}$ B、 $| \sqrt{3} - 2 | = 2 - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{9} = \pm 3$ D、 $\sqrt[3]{4} = 2$

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4. 关于x的不等式(a－1)x＞a-1的解集是x＞1，则a的取值范围是（）

A、a＜0 B、a＞0 C、a＜1 D、a＞1

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5. 若 $() \cdot x y = x^{2} y + 3 x y$ ，则括号内应填的代数式是（）

A、 $x + 3 y$ B、 $x + 3$ C、 $3 x + y$ D、 $3 x + 1$

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6. 纳米时一种极小的长度单位， $1 n m = 1 0^{- 9} m$ ，已知一种病毒的直径约为 $43 n m$ ，则用科学记数法表示该病毒的直径为（）

A、 $4.3 \times 10 m$ B、 $4.3 \times 1 0^{- 6} m$ C、 $4.3 \times 1 0^{- 8} m$ D、 $4.3 \times 1 0^{- 10} m$

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7. 小明从学校图书馆借到一本有108页的图书，计划在10天之内读完．如果开始2天每天只读8页，那么他以后几天里平均每天至少要读多少页？设以后几天里平均每天要读 $x$ 页，根据题意可列不等式为（）

A、 $(10 - 2) x \geq 108$ B、 $(10 + 2) x \geq 108$ C、 $(10 - 2) x + 2 \times 8 \geq 108$ D、 $(10 + 2) x + 2 \times 8 \geq 108$

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8. 设 $M = (x + 3) (x - 7)$ ， $N = (x + 2) (x - 6)$ ，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为（）

A、 $M < N$ B、 $M > N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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9. 如图，阴影部分是边长是 $a$ 的大正方形剪去一个边长是 $b$ 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，能够验证的公式为（）

A、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ B、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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10. 我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，它给出了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为正整数）的展开式（按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第三行的四个数1，3，3，1恰好对应着 ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 展开式中各项的系数．请你猜想 ${(a + b)}^{6}$ 的展开式中与含 $a^{2} b^{4}$ 项的系数相同的项的同类项是（）

A、 $a^{5} b$ B、 $a^{4} b^{2}$ C、 $a^{3} b^{3}$ D、 $a b^{5}$

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二、填空题

11. 不等式 $\frac{x}{3} - 2 < 0$ 的解集是．

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12. 若 $- x^{m} y^{2}$ 和 $3 x^{3} y^{2 m + n}$ 的积与 $2 x^{5} y^{3}$ 是同类项，则 $m + n$ 的值为．

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13. 已知： $\sqrt{23.6} \approx 4.858$ ， $\sqrt{2.36} \approx 1.536$ ，则 $\sqrt{236} \approx$ ．

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14. 如果代数式 ${(x + 2)}^{x - 1}$ 的值等于1，那么 $x$ 的值为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt[3]{- 27} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(2023 - π)}^{0}$ ．

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16. 先化简，再求值 $2 x^{2} (x^{2} + 3 x - 1) - x (2 x^{3} - x^{2} - x)$ ，其中 $x = 2$ ．

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17. 为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．

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18. 已知 $a^{x} = 3$ ， $a^{y} = 5$ ，求：

(1)、 $a^{x + y}$ 的值；

(2)、 $a^{2 x - y}$ 的值．

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19. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组： ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 k ① \\ - x + 2 y = 3 ② \end{array}$

(1)、把方程②两边同乘以3，得③，再把方程①与方程③相加，得，即 $y =$ ；

(2)、若方程组的解满足 ${\begin{array}{l} x < 1 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，试确定满足条件的 $k$ 的正整数值．

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20. 若关于 $x$ 的多项式 $a x^{2} + b x + c$ 与 $d x^{2} + e x + f$ 的积为 $M (x)$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ， $f$ 是常数，显然 $M (x)$ 也是一个多项式．

(1)、 $M (x)$ 中，最高次项为，常数项为；

(2)、 $M (x)$ 中的三次项由 $a x^{2} \cdot e x$ ， $b x \cdot d x^{2}$ 的和构成，二次项时由 $a x^{2} \cdot f$ ， $b x \cdot e x$ ， $c \cdot d x^{2}$ 的和构成．若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + a x + b$ 与 $2 x^{2} - 3 x - 1$ 的积中，三次项为 $- x^{3}$ ，二次项为 $- 6 x^{2}$ ，试确定 $a$ ， $b$ 的值．

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21. 学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算 $\sqrt{13}$ 的近似值．

$∵ 3 = \sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16} = 4$ ，

$∴$ 设 $\sqrt{13} = 3 + m$ ，显然 $0 < m < 1$ ，

$∴ {(\sqrt{13})}^{2} = {(3 + m)}^{2}$ ，

$∴ 13 = 9 + 6 m + m^{2}$ ，

$∴ 6 m = 4 - m^{2}$ ，

$∵ 0 < m < 1$ ，

$∴ 4 - 1 < 6 m < 4 - 0$ ，

$∴ 0.5 < m < 0.67$ ，

$∴ 3.5 < 3 + m < 3.67$ ．

故 $\sqrt{13}$ 的值在 $3.5$ 与 $3.67$ 之间．

问题：

(1)、请你依照上面的方法，估算 $\sqrt{43}$ 的近似值在与之间；

(2)、对于任意一个大于1的无理数 $\sqrt{a}$ ，若 $\sqrt{a}$ 的整数部分为 $b$ ，小数部分为 $m$ ，请用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示 $m$ 的大致范围．

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22. 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是 $(a - b)$ ：
第1个等式： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ；

第2个等式： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ；

第3个等式： $(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}$ ；

……

(1)、请根据规律，写出第4个等式：；

(2)、猜想： $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \cdot \cdot \cdot a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =$ （其中 $n$ 为正整数，且 $n \geq 2$ ）；

(3)、利用（2）猜想的结论计算： $3^{9} - 3^{8} + 3^{7} - 3^{6} + \cdot \cdot \cdot + 3^{3} - 3^{2} + 3$ ．

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23. 对于等式 $a^{n} = b$ ，若知道 $a$ 和 $n$ 求 $b$ ，则称为乘方运算；若知道 $b$ 和 $n$ 求 $a$ ，则称为开方运算．现新定义，对于等式 $a^{n} = b$ 中，知道 $a$ 和 $b$ 求 $n$ ，且规定 $n = L (a ， b)$ ，如 $2^{4} = 16$ ，则有： $L (2 ， 16) = 4$ ．

(1)、根据上述规定、填空：
① $L (3 ， 81) =$ ， ② $L (2 ， 0.25) =$ ．

(2)、计算： $L (\frac{1}{3} ， 27) + L (2 ， 32)$ ；

(3)、探索 $L (2 ， 3) \cdot L (3 ， 5)$ 与 $L (2 ， 5)$ 的大小关系，并说明理由．

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