上海市静安区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 化简 ${(- x^{3})}^{2}$ 的结果是（　　）

A、 $- x^{6}$ B、 $- x^{5}$ C、 $x^{6}$ D、 $x^{5}$

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2. 下列无理数中，在 $- 2$ 与0之间的数是（）

A、 $- 1 - \sqrt{2}$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$

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3. 下列关于9的算术平方根的说法正确的是（）

A、9的算术平方根是3与 $- 3$ B、9的算术平方根是 $- 3$ C、9的算术平方根是3 D、9的算术平方根不存在

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4. 甲、乙两名射击运动员分别进行了相同次数的射击训练，如果将甲、乙两人射击环数的平均数分别记作 $\bar{x_{甲}}$ 和 $\bar{x_{乙}}$ ，方差分别记作 $S_{甲}^{2}$ 和 $S_{乙}^{2}$ ，那么下列描述能说明甲运动员成绩较好且更稳定的是（）

A、 $\bar{x_{甲}} > \bar{x_{乙}}$ 且 $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ B、 $\bar{x_{甲}} > \bar{x_{乙}}$ 且 $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ C、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ 且 $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ D、 $\bar{x_{甲}} < \bar{x_{乙}}$ 且 $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$

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5. 某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多 $0.6$ 元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为 $x$ 元，那么下列方程正确的是（）

A、 $\frac{75}{x - 0.6} = \frac{25}{x}$ B、 $\frac{75}{x} = \frac{25}{x - 0.6}$ C、 $\frac{75}{x} = \frac{25}{x + 0.6}$ D、 $\frac{75}{x + 0.6} = \frac{25}{x}$

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6. 下面是“作

∠ A O B

的平分线”的尺规作图过程：

①在 $O A$ 、 $O B$ 上分别截取 $O D$ 、 $O E$ ，使 $O D = O E$ ；②分别以点 $D$ 、 $E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的同一长度为半径作弧，两弧交于 $∠ A O B$ 内的一点 $C$ ；

③作射线 $O C$ ．

$O C$ 就是所求作的角的平分线．

该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（）

A、三边对应相等的两个三角形全等 B、两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 C、两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D、两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

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二、填空题

7. $\frac{1}{5}$ 的倒数是．

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8. 计算： ${(a - b)}^{2} + 2 b^{2} =$ ．

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9. 已知 $f (x) = x^{- 1}$ ，那么 $f (\sqrt{3}) =$ ．

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10. 方程 $\sqrt{2 x - 1} = x$ 的解是．

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11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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12. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题；“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．

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13. 毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红恰好站在中间的概率是．

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14. 已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有个公共点．

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15. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中，点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 分别是对角线 $A C$ 、 $B D$ 和边 $C D$ 的中点．如果设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{P Q} =$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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16. 某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价格的套票．景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图（如图所示）．那么这一年销售的套票的平均价格是元．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，将 $△ A B C$ 绕着点 $B$ 旋转后，点 $C$ 落在 $A C$ 边上的点 $E$ 处，点 $A$ 落在点 $D$ 处， $D E$ 与 $A B$ 相交于点 $F$ ，如果 $B E = B F$ ，那么 $∠ D B C$ 的大小是．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们定义点 $A (x ， y)$ 的“关联点”为 $B (x + y ， x - y)$ ．如果已知点 $A$ 在直线 $y = x + 3$ 上，点 $B$ 在 $⊙ O$ 的内部， $⊙ O$ 的半径长为 $3 \sqrt{2}$ （如图所示），那么点 $A$ 的横坐标 $x$ 的取值范围是．

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三、解答题

19. 化简求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - x} \div (\frac{2 x - 2}{x} - 1)$ ，其中 $x = \sqrt[3]{- 8}$ ．

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20. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $(- 1 ， 4)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、完成下面的解答过程．
解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 > 1 ① \\ \frac{k}{x} > 1 ② \end{array}$

解：解不等式①，得；

在方格中画出反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是；

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是．

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21. 如图，已知 $C E$ 、 $C F$ 分别是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $A D$ 上的高，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $C E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、当 $A B ： B E = 3 ： 2$ ， $C E = 5$ 时，求 $∠ C A E$ 的余切值．

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22. 已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离 $y$ （米）与离开家的时间 $x$ （分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、小明从家到街心公园的速度为（米/分）；

(2)、小明从街心公园到超市的速度为（米/分）；

(3)、小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离 $y$ （米）与离开家的时间 $x$ （分钟）的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $B C$ 的中点， $⊙ O$ 是 $△ P A D$ 的外接圆， $⊙ O$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $P A = P D$ ；

(2)、当 $A E$ 是以点 $O$ 为中心的正六边形的一边时，求证： $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{E P}$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A (1 ， 0)$ 、点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，点 $P$ 在线段 $B C$ 上，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求直线 $B C$ 的表达式；

(2)、如果以 $P$ 为顶点的新抛物线经过原点，且与 $x$ 轴的另一个交点为 $D$ ：
①求新抛物线的表达式（用含 $m$ 的式子表示），并写出 $m$ 的取值范围；

②过点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，交原抛物线于点 $E$ ，当四边形 $A E D P$ 是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式．

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25. 如图，扇形 $M O N$ 的半径为 $r$ ，圆心角 $∠ M O N = 90 °$ ，点 $A$ 是 $\overset{⌢}{M N}$ 上的动点（点 $A$ 不与点 $M$ 、 $N$ 重合），点 $B$ 、 $C$ 分别在半径 $O M$ 、 $O N$ 上，四边形 $A B O C$ 为矩形，点 $G$ 在线段 $B C$ 上，且 $C G = 2 B G$ ．

(1)、求证： $C G = \frac{2}{3} r$ ；

(2)、如图，以 $A$ 为顶点、 $A C$ 为一边，作 $∠ C A P = ∠ B C O$ ，射线 $A P$ 交射线 $O N$ 于点 $P$ ，联结 $A N$ ， $O G$ ．

①当 $∠ B G O = ∠ A N P$ 时，求 $△ O B G$ 与 $△ A N P$ 的面积之比；

②把 $△ O G B$ 沿直线 $O G$ 翻折后记作 $△ O G B^{'}$ ，当 $O B^{'} ⊥ B C$ 时，求 $∠ P$ 的正切值．

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