上海市金山区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 6$ 的相反数为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、6 C、 $\pm 6$ D、 $- \frac{1}{6}$

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2. 单项式 $- 8 a b^{2}$ 的系数是（）

A、 $- 8$ B、2 C、3 D、8

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3. 下表是世界卫生组织统计的5种新冠疫苗对新冠病毒防御的有效率的数据统计表，那么这5种疫苗对新冠防御的有效率的中位数是（）

疫苗名称	克尔来福	阿斯利康	莫德纳	辉瑞	卫星 $V$
有效率	79.2%	75.9%	95.0%	95.0%	92.3%

A、75.9% B、79.2% C、95.0% D、92.3%

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4. 已知函数 $y = k x$ （ $k \neq 0$ ， $k$ 为常数）的函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）

A、 $(0.5 ， 1)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， - 2)$

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5. 下列图形中，是中心对称图形且旋转 $240 °$ 后能与自身重合的图形是（）

A、等边三角形 B、正方形 C、正八边形 D、正十二边形

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6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 $E F = C D = 8$ ，那么球的半径长是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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二、填空题

7. 计算 $x^{2} \cdot x^{7} =$ ．

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8. 已知 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ ，那么 $f (5) =$ __．

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9. 因式分解：a³－a=.

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10. 分式方程 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x} = 0$ 的解是．

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 < x \\ \frac{x}{2} \leq x + 1 \end{array}$ 的解集是．

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12. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 在 $y$ 轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．

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13. 已知关于x的方程x²＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．

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14. 一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为 $5 ： 3 ： 2$ ．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为．

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15. 小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离 $y_{1}$ （米）、 $y_{2}$ （米）与时间 $x$ （分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是分钟．

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16. 如图，已知 $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C$ ，联结 $B E$ ，如果 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，当 $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ 时，那么 $\vec{B E} =$ ．（用含 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的式子表示）

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17. 如图，已知 $A D$ 、 $B E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A D$ 和 $B E$ 交于点 $G$ ，当 $∠ A E G = ∠ A D C$ 时，那么 $\frac{A C}{A D}$ 的值等于．

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18. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的动点，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，如果点 $E$ 关于直线 $A D$ 对称的点 $F$ 恰好落在线段 $B C$ 上，那么 $C E$ 的最大值为．

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三、解答题

19. 计算： ${(2023 - π)}^{0} + {(\frac{\sqrt{3} + 1}{2})}^{- 1} - 27^{\frac{1}{3}} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 \\ x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 \end{array}$ ．

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21. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $B C = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，过点 $C$ 作 $C D ∥ A B$ 交 $E F$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $A D$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的正弦值；

(2)、求线段 $A D$ 的长．

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22. 空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．）

如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．

空气质量指数（AQI）	0~50	50~100	100~150	150~200	200~250
天数	$a$	$b$	3	3	3
频率	$c$	$d$	0.1	0.1	0.1

（注：每组数据可含最高值，不含最低值）

(1)、请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：

这个地区11月份空气为轻度污染的天数是天． $a =$ ； $b =$ ； $c =$ ； $d =$ ．

(2)、为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到0.01）（参考数据：

\sqrt{2} \approx 1.414

，

\sqrt{3} \approx 1.732

，

\sqrt{5} \approx 2.236

，

\sqrt{6} \approx 2.449

）

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23. 如图，已知 $△ A B C$ 是等边三角形，过点 $A$ 作 $D E ∥ B C$ （ $D E < B C$ ），且 $D A = E A$ ，联结 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $D B C E$ 是等腰梯形；

(2)、点 $F$ 在腰 $C E$ 上，联结 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，若 $C F^{2} = G F \cdot B F$ ，求证： $C G = \frac{1}{2} D E$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 8)$ ，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与抛物线的对称轴直线 $l$ 交于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的表达式及对称轴；

(2)、如果该抛物线平移后经过点 $C$ ，其顶点 $P$ 在原抛物线上，且点 $P$ 在直线 $l$ 的右侧，求点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $E$ 在直线 $l$ 上，若 $\tan ∠ A B E = \frac{1}{3}$ ，求点 $E$ 的坐标．

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25. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 中点，在边 $A B$ 上取一点 $E$ ，使得 $D E = D B$ ，延长 $E D$ 交 $A C$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A = ∠ C D F$ ；

(2)、设 $A C$ 的中点为点 $O$ ，
①如果 $C D$ 为经过 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点的圆的一条弦，当弦 $C D$ 恰好是正十边形的一条边时，求 $C F ： A C$ 的值；

② $⊙ M$ 经过 $C$ 、 $D$ 两点，联结 $O M$ 、 $M F$ ，当 $∠ O F M = 90 °$ ， $A C = 10$ ， $\tan A = \frac{3}{4}$ 时，求 $⊙ M$ 的半径长．

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