上海市嘉定区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列根式中，与 $\sqrt{18}$ 为同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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2. 下列关于x的方程一定有实数解的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - b x + 1 = 0$ （b为常数） D、 $x^{2} - b x - 1 = 0$ （b为常数）

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3. 某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示：

进球次数

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

人数

1

9

9

8

6

6

5

4

1

1

0

该投篮进球次数的中位数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、等腰梯形 C、矩形 D、正五边形

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6. 如图，已知点D、E分别在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， $A D ： D B = 1 ： 3$ ，那么 $S_{△ D E C} ： S_{△ D B C}$ 等于（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $2 ： 3$ D、 $1 ： 4$

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二、填空题

7. 计算：a⁴÷a²= ．

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8. 如果分式 $\frac{1}{2 x - 3}$ 有意义，那么实数x的取值范围是．

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9. 1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为

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10. 方程 $\sqrt{x + 7}$ - x=1的根是．

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11. 如果反比例函数 $y = \frac{a - 1}{x}$ 的图像经过点 $(1 ， - 2)$ ，那么这个反比例函数的解析式为．

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12. 如果函数 $y = x^{2} + k$ 的图象向左平移2个单位后经过原点，那么 $k =$ ．

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13. 某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图（如图）．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有名．

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14. 如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是 $A C$ 边上一点，且 $A D ： D C = 2 ： 1$ ．设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{B D} =$ ．（用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

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16. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 13$ ， $sin A = \frac{5}{13}$ ，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是．

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17. 新定义：函数图象上任意一点 $P (x ， y)$ ， $y - x$ 称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数 $y = 2 x + 3 (- 2 \leq x \leq 1)$ 的“特征值”是．

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18. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 2$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $B C$ 、 $B A$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $△ B D E$ 绕点 $B$ 顺时针方向旋转，点 $D$ 、 $E$ 的对应点分别是点 $D_{1}$ 、 $E_{1}$ ．如果点 $E_{1}$ 落在线段 $A C$ 上，那么线段 $C D_{1} =$ ．

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三、解答题

19. 计算： ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{- 1} - 2 sin 45 ° + | \sqrt{3} - 2 | - {(1 - π)}^{0}$

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20. 解方程： ${\begin{matrix} x - 3 y = 5 ① \\ x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 ② \end{matrix}$

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = A B$ ， $\sin A = \frac{3}{5}$ ，圆O经过A、B两点，圆心O在线段 $A C$ 上，点C在圆O内，且 $O C = 3$ ．

(1)、求圆O的半径长；

(2)、求 $B C$ 的长．

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22. A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．

(1)、如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；

(2)、如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由．

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23. 如图，已知 $C E$ 、 $C F$ 分别是 $∠ A C B$ 和它的邻补角 $∠ A C D$ 的角平分线， $A E ⊥ C E$ ，垂足为点E， $A F ∥ E C$ ，连接 $E F$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点G、H．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是矩形；

(2)、试猜想 $G H$ 与 $B C$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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24. 如图，在直角坐标平面 $x O y$ 中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上， $A B ∥ O C$ ，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 4 (a \neq 0)$ 经过A、B、C三点．

(1)、求点A、B的坐标；

(2)、联结 $A C$ 、 $O B$ 、 $B C$ ，当 $A C ⊥ O B$ 时，
①求抛物线表达式：

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 $S_{△ P A C} = 4 S_{△ A B C}$ ?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．

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25. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点P在线段 $B C$ 上， $∠ B P D = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ， $P D$ 交 $B A$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ P D$ ，垂足为E，交 $C A$ 的延长线于点F．

(1)、如果 $∠ A C B = 45 °$ ，
①如图1当点P与点C重合时，求证： $B E = \frac{1}{2} P D$ ；

②如图 $2$ ，当点 $P$ 在线段 $B C$ 上，且不与点 $B$ 、点 $C$ 重合时，问： ①中的“ $B E = \frac{1}{2} P D$ ”仍成立吗?请说明你的理由；

(2)、如果 $∠ A C B \neq 45 °$ ，如图，已知 $A B = n · A C$ （n为常数），当点P在线段 $B C$ 上， $B E$ 且不与点B、点C重合时，请探究 $\frac{B E}{P D}$ 的值（用含n的式子表示），并写出你的探究过程．

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进球次数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人数	1	9	9	8	6	6	5	4	1	1	0