上海市宝山区2023年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 已知线段a、b，如果 $a ： b = 2 ： 3$ ，那么下列各式中一定正确的是（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $a + b = 5$ C、 $\frac{a + b}{a} = \frac{5}{2}$ D、 $\frac{a + 3}{b + 2} = 1$

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2. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD： $B D = 1$ ：3，那么下列条件中能够判断 $D E / / B C$ 的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{4}$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，下列条件中，能判定向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 方向相同的是（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ D、 $\vec{a} = 3 \vec{c}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{c}$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2 ， 1)$ 与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为 $β$ ，那么 $\tan β$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 将抛物线 $y = x^{2} + 3$ 向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x^{2} - 3$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} + 3$

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6. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ 、 $B C = 4$ ．以C为圆心作 $⊙ C$ ，如果圆C与斜边 $A B$ 有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（）

A、 $0 < R < \frac{12}{5}$ B、 $R < \frac{12}{5}$ C、 $\frac{12}{5} < R \leq 3$ D、 $\frac{12}{5} < R \leq 4$ ．

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二、填空题

7. 已知线段 $a = 2$ ， $b = 8$ ，如果线段 $c$ 是 $a$ 、 $b$ 的比例中项，那么 $c =$ ．

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8. 已知一个三角形的三边之比为 $2 ： 3 ： 4$ ，与它相似的另一个三角形 $A B C$ 的最小边长为4厘米，那么三角形 $A B C$ 的周长为厘米．

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9. 计算： $2 (\vec{a} - \vec{b}) - 3 (\vec{a} + \vec{b})$ ＝．

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10. 如果抛物线 $y = a x^{2}$ 的开口方向向下，那么a的取值范围是．

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11. 抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ 的对称轴是．

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12. 正六边形一个外角的度数为.

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13. 已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段 $O A$ 的长记为d，那么d的取值范围是．

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14. 如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写出定义域）

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知线段 $E F$ 经过三角形的重心 $G$ ， $E F ∥ A B$ ，四边形 $A B F E$ 的面积为 $15 {cm}^{2}$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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16. 已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．

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17. 已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ A = 36 °$ ．
按下列步骤作图：

步骤1：以点B为圆心，小于 $B C$ 的长为半径作弧分别交 $B C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ；

步骤2：分别以点 $D$ 、 $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ；

步骤3：作射线 $B M$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

那么线段 $A F$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： $2 \cos 60 ° - | 1 - \cos 30 ° | + \frac{\tan 45 °}{\sin 60 ° - 1}$ ．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (3 ， 0)$ 、 $B (2 ， - 3)$ 、 $C (0 ， - 3)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为 $- 2$ ，试求点E的坐标．

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21. 如图，已知圆O的弦 $A B$ 与直径 $C D$ 交于点 $E$ ，且 $C D$ 平分 $A B$ ．

(1)、已知 $A B = 6$ ， $E C = 2$ ，求圆O的半径；

(2)、如果 $D E = 3 E C$ ，求弦 $A B$ 所对的圆心角的度数．

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22. 如图，某小区车库顶部 $B C$ 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯 $A B$ ．已知平台斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为 $45 °$ ，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为 $60 °$ ，求灯的顶端A与地面 $D E$ 的距离．（结果保留根号）

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23. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 、 $A C E D$ 都是平行四边形， $M$ 是边 $C D$ 的中点，联结 $B M$ 并延长，分别交 $A C$ 、 $D E$ 于点 $F$ 、 $G$ ．

(1)、求证： $B F^{2} = F M \cdot B G$ ；

(2)、联结 $C G$ ，如果 $A B = \sqrt{2} C G$ ，求证： $∠ B G C = ∠ B A C$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ ，将该抛物线位于 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折，得到的新图象记为“图象 $U$ ”，“图象 $U$ ”与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、写出“图像U”对应的函数解析式及定义域；

(2)、求 $∠ A C B$ 的正切值；

(3)、点 $P$ 在 $x$ 轴正半轴上，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，交“图象 $U$ ”于点 $F$ ，如果 $△ C E F$ 与 $△ A B C$ 相似，求点 $P$ 的坐标．

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25. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A B = 5$ ， $\cot ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ．点D、E分别在边 $A C$ 、 $A B$ 上（不与端点重合）， $B D$ 和 $C E$ 交于点 $F$ ，满足 $∠ A B D = ∠ B C E$ ．

(1)、求证： $C D^{2} = D F \cdot D B$ ；

(2)、如图2，当 $C E ⊥ A B$ 时，求 $C D$ 的长；

(3)、当 $△ C D F$ 是等腰三角形时，求 $D F ： F B$ 的值．

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