上海市宝山区2023年中考二模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$

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2. 估计 $\sqrt{5}$ 的值在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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3. 如果一个三角形的两边长分别为 $5 cm$ 、 $10 cm$ ，那么这个三角形的第三边的长可以是（）

A、 $3 cm$ B、 $5 cm$ C、 $10 cm$ D、 $16 cm$

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4. 已知点D、E分别在 $△ A B C$ 的边 $C A$ 、 $B A$ 的延长线上， $D E ∥ B C$ ， $D E ： B C = 1 ： 3$ ，设 $\vec{D A} = a$ ，那么 $\vec{C D}$ 用向量 $\vec{a}$ 表示为（）

A、 $3 \vec{a}$ B、 $- 3 \vec{a}$ C、 $4 \vec{a}$ D、 $- 4 \vec{a}$

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5. 在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是（）

x	……	$- 2$	$- \frac{1}{2}$	1	2	…
y	…	$- 1$	4	$- 2$	$- 1$	…

A、

(- 2 ， - 1)

B、

(- \frac{1}{2} ， 4)

C、

(1 ， - 2)

D、

(2 ， - 1)

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6. 已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（）

A、如果半径 $O B$ 平分弦 $A C$ ，那么四边形 $O A B C$ 是平行四边形 B、如果弦 $A C$ 平分半径 $O B$ ，那么四边形 $O A B C$ 是平行四边形 C、如果四边形 $O A B C$ 是平行四边形，那么 $∠ A O C = 120 °$ D、如果 $∠ A O C = 120 °$ ，那么四边形 $O A B C$ 是平行四边形

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二、填空题

7. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ＝．

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8. 分解因式： $- 2 x^{2} + 8 =$ ．

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9. 若分式 $\frac{1}{x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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10. 已知关于x的方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 有两个相等的实数根，那么m =

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11. 在平面直角坐标系中，若点 $P (x - 3 ， x)$ 在第二象限．则 $x$ 的取值范围为．

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12. 一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．

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13. 已知一次函数 $y = 3 x + m$ 的图像经过点 $(- 1 ， 1)$ ，那么 $m =$ ．

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14. 某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李千克．

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15. 如图，在正五边形 $A B C D E$ 中，F是边 $B C$ 延长线上一点，连接 $A C$ ，那么 $∠ A C F$ 的度数为．

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16. 如图，已知点E在矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上，且 $B C = E C = 8$ ， $∠ A B E = 15 °$ ，那么 $A B$ 的长等于．

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17. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ B = 70 °$ ，如果将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，使点B的对应点 $B^{'}$ 落在边 $A C$ 上，那么 $∠ A A^{'} B^{'}$ 的度数是．

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18. 如果一个三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ，点D在边 $B C$ 上，且 $△ A B D$ 是“倍角互余三角形”，那么 $B D$ 的长等于．

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} - | \sqrt{2} - 3 | + \frac{1}{2 \sin 45 ° - 1}$ ．

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} 4 x^{2} - y^{2} = 15 \\ 2 x - y = 5 \end{array}$ ．

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21. 某校开设了A、B、C、D、E五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校 $500$ 名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从A、B、C、D、E中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图和扇形统计图，两个统计图都尚未完成．

(1)、求本次问卷调查中最喜欢E类课程的学生人数，并补全相应的条形图；

(2)、根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢D类兴趣课的人数是多少？

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22. “小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形 $B C D E$ 和“房顶”等腰三角形 $A B E$ 组成．已知 $B C = 4.5$ 厘米， $C D = 8$ 厘米， $A B = A E = 5$ 厘米．

(1)、求“房顶”点A到盒底边 $C D$ 的距离；

(2)、现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段 $A B C$ 的长度（即线段 $A B$ 与 $B C$ 的和）及矩形 $B C D E$ 的面积均不改变，且 $\sin ∠ A B E = \frac{5}{13}$ ， $B C > C D$ ，求新造型“盒身”的高度（即线段 $B C$ 的长）．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 、 $B D$ 交于点O， $O B = O C$ ．

(1)、求证： $A B = C D$ ；

(2)、E是边 $B C$ 上一点，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点F，如果 $A O^{2} = O F \cdot O C$ ，求证：四边形 $A B E D$ 是平行四边形．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)、求二次函数的解析式和顶点D的坐标；

(2)、连接 $A C$ ，试判断 $△ A C D$ 与 $△ B O C$ 是否相似，并说明理由；

(3)、将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段 $O C$ 上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接 $E F$ ，如果四边形 $C E F D$ 的面积为3，求新抛物线的解析式．

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25. 如图，已知半圆O的直径 $A B = 4$ ， C是圆外一点， $∠ A B C$ 的平分线交半圆O于点D，且 $∠ B C D = 90 °$ ，联结 $O C$ 交 $B D$ 于点E．

(1)、当 $∠ A B C =45 °$ 时，求 $O C$ 的长；

(2)、当 $∠ A B C = 60 °$ 时，求 $\frac{O E}{E C}$ 的值；

(3)、当 $△ B O E$ 为直角三角形时，求 $\sin ∠ O C B$ 的值．

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