黑龙江省哈尔滨市道外区2023年中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 7$ 的绝对值是（）

A、 $- 7$ B、 $7$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $6 a - 5 a = 1$ B、 $3 a^{2} + 2 a^{3} = 5 a^{5}$ C、 $a^{6} \cdot a^{2} = a^{8}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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6. 方程 $\frac{1}{2 x} = \frac{2}{x + 3}$ 的解为（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 3$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 3$

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7. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是A、B，点E在 $⊙ O$ 上， $∠ A E B = 60 °$ ，那么 $∠ P$ 等于（）

A、150° B、120° C、90° D、60°

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8. 某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从 $500$ 千克增加到 $605$ 千克，设平均每年增产的百分率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $500 (1 + x) = 605$ B、 $500 {(1 + x)}^{2} = 605$ C、 $500 (1 + 2 x) = 605$ D、 $605 {(1 - x)}^{2} = 500$

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9. 如图， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，则下列比例式中错误的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{E F}{A B} = \frac{C E}{C A}$ C、 $\frac{C E}{C F} = \frac{C A}{C B}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

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10. 小红从家步行到学校需走的路程为1600米，图中的折线 $O A B$ 反映了小红从家步行到学校所走的路程 $S$ （米）与时间 $t$ （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小红从家出发去学校步行10分钟时，到学校还需步行（）米

A、300 B、400 C、500 D、600

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二、填空题

11. 将数字 $2023000$ 用科学记数法表示为．

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12. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是．

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13. 把多项式 $3 x^{2} - 12$ 分解因式的结果是．

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14. 计算 $\sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是．

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15. 不等式组 ${\begin{matrix} 2 x + 1 \leq 9 \\ 3 x - 5 > 1 \end{matrix}$ 的解集是．

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16. 已知点 $M (- 1 ， 3)$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上，则 $k =$ ．

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17. 不透明的袋子里装有2个红球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是．

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18. 已知扇形的半径为 $3$ ，圆心角为 $60 °$ ，则该扇形的弧长为.（结果保留 $π$ ）

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19. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $B C$ 的长是．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $D A = D C$ ，点 $B$ 关于直线 $A C$ 的对称点为点 $E$ ，连接 $A E$ 、 $E D$ ，则 $D E$ 的长为．

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三、解答题

21. 先化简，再求代数式 $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{3 a}{a - 1}$ 的值，其中 $a = 3 \tan 30 ° - 1$ ．

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22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 $1$ ，线段 $A C$ 和线段 $E F$ 的端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在方格纸中画以 $A C$ 为对角线的菱形 $A B C D$ ，点 $D$ 在直线 $A C$ 下方，且点 $B$ 、 $D$ 都在小正方形的顶点上；

(2)、在方格纸中画以 $E F$ 为底边，面积为 $4$ 的等腰三角形 $E F G$ ，且点 $G$ 在小正方形的顶点上；

(3)、在（1）（2）的条件下，连接 $D G$ ，并直接写出线段 $D G$ 的长．

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23. 某校六年级为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组： $A$ （经典诵读）， $B$ （诗词大赛）， $C$ （传统故事）， $D$ （汉字听写），学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组，在六年级范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中参加 $B$ （诗词大赛）小组的学生人数占所调查人数的 $44 %$ ，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、本次共抽查了多少名学生？

(2)、请通过计算将条形统计图补充完整；

(3)、该学校六年级共有 $540$ 名学生，请你估计该校六年级参加 $A$ （经典诵读）小组共有多少名学生？

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24. 已知正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作直线 $E F$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于 $E$ ， $F$ 两点．

(1)、如图1，求证： $B E = D F$ ；

(2)、如图2，过点 $O$ 作直线 $E F$ 的垂线分别交 $A D$ ， $B C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的 $\frac{1}{4}$ ．

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25. 禹驰商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需800元。

(1)、求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)、若禹驰商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，求禹驰商店至多购进A种纪念品多少件？

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26. 已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 为弧 $B C$ 的中点，弦 $B C$ 与弦 $A D$ 交于点 $E$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ B E D + ∠ B A D = 90 °$ ；

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，交弦 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $O G$ ，求证： $G O$ 平分 $∠ H G C$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下， $D H$ 延长线交 $⊙ O$ 于点 $T$ ，连接 $T C$ 交 $O G$ 、 $A D$ 于点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $N H$ ，若 $N H = 5$ ， $T C = 22$ ，求 $O N$ 的长．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 经过点 $A (- 4 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $D$ 为第一象限抛物线上一点，连接 $A D$ ， $B D$ ，设点 $D$ 的横坐标为 $t$ ， $△ A B D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $t$ 的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，点 $P$ 为第四象限抛物线上一点，连接 $P A$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，点 $G$ 在直线 $A D$ 上，若 $\tan ∠ B A D = \frac{1}{2}$ ，四边形 $B E F G$ 为菱形，求点 $P$ 的坐标．

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