浙江省杭州市萧山区2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-05-24 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1. 下列等式正确的是（）

A、 $(\sqrt{3})^{2} = 3$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{3^{3}} = 3$ D、 $(- \sqrt{3})^{2} = - 3$

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2. 如图， $A B / / C D$ ， $A D$ ， $B C$ 相交于点 $O .$ 若 $A B = 1$ ， $C D = 2$ ， $B O$ ： $C O =$ （）

A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1

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3. 两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 $∠ A B C$ 的度数为（）

A、 $22 °$ B、 $23 °$ C、 $24 °$ D、 $25 °$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B = 3 5^{∘}$ ， $A B = 7$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $7 s i n 3 5^{∘}$ B、 $7 c o s 3 5^{∘}$ C、 $7 t a n 3 5^{∘}$ D、 $\frac{7}{c o s 3 5^{∘}}$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径， $C D$ 是弦 $.$ 若 $∠ B C D = 44 °$ ，则 $∠ A B D =$ （）

A、 $40 °$ B、 $44 °$ C、 $45 °$ D、 $46 °$

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7. 如图，已知 $△ A B C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边中点，且 $∠ A D C = ∠ B A C .$ 若 $B C = 6$ ，则 $A C =$ （）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

，

y

与

x

的部分对应值为：

$x$	$\dots$	-2	-1	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	-1	2	3	2	？	$\dots$

关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）

A、当

x > 0

时，函数图象从左到右上升 B、抛物线开口向上 C、方程

a x^{2} + b x + c = 0

的一个根在-2与-1之间 D、当

x = 2

时，

y = 1

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9. 如图， $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点C，与边 $C B ， C A$ 分别交于点M，N，与 $A B$ 边相切.若 $∠ B C A = 60 ° ， ∠ A = 45 ° ， A C = 4$ ，则线段 $M N$ 长度的最小值是（）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 12$ ，点 $P$ 在边 $A B$ 上， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $P C$ 的中点，连接 $D E .$ 过点 $E$ 作 $B C$ 的垂线，与 $B C$ ， $A C$ 分别交于 $F$ ， $G$ 两点 $.$ 连接 $D G$ ，交 $P C$ 于点 $H .$ 有以下判断： $① ∠ E D C = 45 °$ ； $② D G ⊥ P E$ ，且 $D G = P E$ ； $③$ 当 $A P = 6$ 时， $△ A P G$ 的面积为 $9$ ； $④ \frac{C H}{C E}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2} .$ 其中正确的是（）

A、①③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 某平台进行“天宫课堂”中国空间站全程直播．某一时刻观看人数达到3790000人．用科学记数法表示3790000＝．

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12. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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13. 若⊙O中，弦AB的长度是半径的 $\sqrt{2}$ 倍，则弦AB所对圆周角的度数为°．

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14. 已知函数 $y = k x$ ，点 $A (2 ， 4)$ 在函数图象上 $.$ 当 $x = - 2$ 时， $y =$ ．

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15. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 9$ ， $B P = \frac{1}{3} B C = 2$ ， $D$ 在 $A C$ 上，且 $∠ A P D = ∠ B$ ，则 $C D =$ ．

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16. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c .$ 当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 的取值范围是 $- 1 \leq y \leq 1$ ，该二次函数的对称轴为 $x = m$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。）

17. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 4)$ ．

(1)、请在图中作出 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $90 °$ 后得到的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ：

(2)、求点 $C$ 运动到点 $C_{1}$ 所经过的路径的长 $($ 结果保留 $π)$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线，点 $E$ 是边 $A C$ 上一点，且满足 $∠ A D E = ∠ B$ ．

(1)、证明： $△ A D B ∽ △ A E D$ ．

(2)、若 $A E = 3$ ， $A D = 5$ ，求 $A B$ 的长．

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19. 一个不透明的布袋中有完全相同的四个小球，编号为1，2，3，4．甲和乙做游戏：从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后，不放回；再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，甲赢；若标号之和为偶数，则乙赢．

(1)、用画树状图或列表的方法，表示出两次取出编号的所有可能；

(2)、判断这个游戏是否公平，并说明理由．

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20. 如图，以四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 为直径作圆，圆心为 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 的延长线于点 $E$ ，已知 $D A$ 平分 $∠ B D E$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 2 \sqrt{5}$ ， $C D = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $A D$ 的长．

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21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，tanA= $\frac{1}{2}$ ，AC= $\sqrt{5}$ ，

(1)、求∠B 的度数和 AB 的长.

(2)、求 tan∠CDB 的值.

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 4 (a ， b$ 是常数，且 $a \neq 0)$ 的图象过点 $(3 ， - 1)$ ．

(1)、试判断点 $(2 ， 2 - 2 a)$ 是否也在该函数的图象上，并说明理由．

(2)、若该二次函数的图象与 $x$ 轴只有一个交点，求该函数的表达式．

(3)、已知二次函数的图象过 $(x_{1} ， y_{1})$ 和 $(x_{2} ， y_{2})$ 两点，且当 $x_{1} \leq x_{2} \leq \frac{2}{3}$ 时，始终都有 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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23. 如图

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 2 ∠ B$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ， $D E / / A C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．
①若 $D E = 1$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，求 $B C$ 的长；
②试探究 $\frac{A B}{A D} - \frac{B E}{D E}$ 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

(2)、如图2， $∠ C B G$ 和 $∠ B C F$ 是 $△ A B C$ 的2个外角， $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ， $C D$ 平分 $∠ B C F$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $D E / / A C$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $E .$ 记 $△ A C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C D E$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ B D E$ 的面积为 $S_{3} .$ 若 $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，求 $c o s ∠ C B D$ 的值．

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