吉林省长春市汽开区2022年一模——数学试卷

试卷更新日期：2023-05-24 类型：中考模拟

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一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1. -6的相反数是（）

A、6 B、-6 C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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2. 疫情防控工作开始以来，长春市12 000名机关党员干部全部下滨到居住社区对接抗疫.12 000这个数用科学记数法表示为（）

A、12×10³ B、1.2×10⁴ C、1.2×10⁵ D、0.12×10⁵

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3. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

A、三棱柱 B、正方体 C、三棱锥 D、圆锥

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4. 计算(－a²)³的结果是

A、a⁵ B、－a⁵ C、a⁶ D、－a⁶

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5. 如图是2022北京冬奥会延庆赛区一段赛道的示意图，已知运动员从点A滑到点B，测得AB=100m，∠B=α，则运动员下降的高度(AC的长)为（）

A、 $\frac{100}{s i n α}$ m B、100sinαm C、 $\frac{100}{c o s α}$ m D、100cosαm

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6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在 $\hat{A P}$ 上，则∠CMD的大小为（）

A、60° B、45° C、30° D、15°

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7. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(4，0)、(0，2)，点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k≠0)的图象经过点D，分别交 BC、AB于点M、N．反比例函数在点M与点N之间的部分(包含M、N两点)记为图形G，则图形G上点的横坐标x的取值范围为（）

A、1≤x≤2 B、 $\frac{1}{2}$ ≤x≤2 C、1≤x≤4 D、 $\frac{1}{2}$ ≤x≤4

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二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9. 分解因式： a²-1=.

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10. 若关于x的一元二次方程x²+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值可以是(写出一个即可)

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11. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AB=5，则AD的长为

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．将一块三角尺按如图所示的方式放置，使它的一条直角边过点A，直角顶点落在BC边上的点E处，另一顶点落在DC边上的点F处，且AE=EF，则DF的长为

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13. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在y轴的正半轴上，已知点B(-2，0)、C(2，0)、D(4，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，则图中阴影部分图形的面积为(结果保留π)

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14. 在平面直角坐标系中，点A(1-m，n)、B (5+m，n)均在抛物线y=x²+bx+c上，则b的值为

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三、解答题(本大题共10小题，共78分)

15. 先化简，再求值：(x+1)(x+3)+(x-2)² ，其中x=√5．

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16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面有字为“长春加油”，第三张卡片的正面有字为“吉林加油”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的字都是“长春加油”的概率． (字为“长春加油”的两张卡片分别记为A₁、A₂ ，字为“吉林加油”的卡片记为B)

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17. 在长春抗疫中，辽源3000余人驰援汽开区，某小区有A、B两组辽源医生做核酸，A组平均每小时比B组多做20人，A组给1200人做核酸的时间和B组给1000 人做核酸的时间一样．求B组平均每小时做核酸的人数．

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18. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OC的延长线与过点A的直线交于点P，∠P=∠B=30°．

(1)、求证：AP是⊙O的切线

(2)、若OA=6，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为． (结果保留π)

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19. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图①中，在BC边上找一点D，连结AD，使∠ADB=45°．

(2)、在图②中，在AC边上找一点E，连结BE，使∠ABE=45°．

(3)、在图③中，在BC边上找一点F，连结AF，使∠AFC=2∠ABC．

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20. 3月23日下午，“天宫课堂”第二课如约举行，某校组织师生全员观看．为了解同学们对“天宫课堂”讲授知识的掌握情况，学生会组织了线上知识测试。现从初中三个年级各随机抽取10人的成绩(单位：分)进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a.30名同学“天宫课堂"知识测试成绩的统计图如下．

b.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的频数分布直方图如下，(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100 )

c．测试成绩在70≤x<80这一组的是 70，73，74，74，75，75，77，78．

d．小夏同学的“天宫课堂”知识测试成绩为88分，

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、小夏同学的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第

(2)、抽取的30名同学的成绩的中位数为

(3)、序号为1~10的学生是七年级的，序号为11~20的学生是八年级的，序号为21~30的学生是九年级的．若七年级学生成绩的方差记为s₁² ，九年级学生成绩的方差记为s₂² ，则s₁² s₂²(填“>”“=”或“<”)．

(4)、成绩80分及以上记为优秀，该校初中三个年级720名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为人．

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21. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”两匹马各自行走的路程s (里)与驽马行走的时间t(日)之间的函数关系如图所示．

(1)、良马比驽马每日多行里．

(2)、求良马出发后，s与t之间的函数关系式．

(3)、当两马间相距180里时，直接写出t的值．

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22. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕PO与对角线AC交于点E，连结BE，则BE与AC的数量关系为

(2)、操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与知形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AP，M为AF的中点，连结DM、ME．求证：DM=ME．

(3)、拓展延伸：如图⑧，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，连结AF，M为AF的中点，连结DM、ME、DE．已知正方形纸片ABCD的边长为5，正方形纸片EC GE的边长为2 $\sqrt{2}$ ，则△DME的面积为

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23. 如图，在△ABC中，∠B=90°．AC=2 $\sqrt{5}$ ， BC=2．点E从点A出发，以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位长度的速度沿边AC向终点C运动，同时点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向终点A运动．连结EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH．设点E运动的时间为t秒(t>0)．

(1)、AB的长为．

(2)、求点E到边AB的距离．(用含t的代数式表示)

(3)、当点G落在边AB上时，求EF的长．

(4)、连结FH．当FH与AC平行或垂直时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+2mx+4 (m为常数)的顶点为M，与y轴交点为N．

(1)、当m=1时，求点M和点N的坐标．

(2)、当x≥2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为

(3)、当x≤2m时，若函数y=-x²+2mx+4的图象最高点到x轴的距离是其到y轴距离的6倍，求m的值

(4)、若点A、B同时在这条抛物线上，且点A、B的横坐标分别为-2、3，分别作点A、B关于此抛物线对称轴的对称点A'、B'，连结AB、AA'、A'B、A'B'．当线段A'B将△AA'B分成两部分图形的面积比为1：3时，直接写出m的值．

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