湖北省随州市曾都区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-23 类型：中考模拟

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 2023的相反数是（）

A、-2023 B、2023 C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 如图，已知直线 $a ∥ b$ ，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若 $∠ 1 = 36 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、36° B、54° C、56° D、64°

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3. 《全国国土空间规划纲要（2021—2035年）》明确18.65亿亩耕地目标任务要保持到2035年不变．数据“18.65亿”用科学记数法表示为（）

A、 $18.65 \times 1 0^{8}$ B、 $1.865 \times 1 0^{8}$ C、 $18.65 \times 1 0^{9}$ D、 $1.865 \times 1 0^{9}$

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x - 1 < 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列几何体中，无论怎样放置在平面上，其三视图都是全等形的是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、正方体 D、球

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6. 一个布袋中放着6个黑球和12个红球，除了颜色以外没有任何其他区别，则从布袋中任取1个球，取出红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转60°至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，点A的对应点 $A^{'}$ 恰好落在AB上，则 $B B^{'}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 甲、乙两地今年4月份前5天的日最低气温如图所示，则下列描述正确的是（）

A、甲地最低气温的中位数是6℃ B、甲地最低气温的众数是4℃ C、乙地最低气温相对比较稳定 D、乙地最低气温的平均数是5℃

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9. 如图，BD为 $▱ A B C D$ 的对角线，分别以B，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（）

A、点O为 $▱ A B C D$ 的对称中心 B、BE平分 $∠ A B D$ C、 $S_{△ A B E} ： S_{△ B D F} = A E ： E D$ D、四边形BEDF为菱形

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，且经过点 $(2 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ，下列说法：① $a b c < 0$ ；② $x = - 1$ 是关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根；③若点 $M (- \frac{1}{3} ， y_{1})$ ， $N (\frac{5}{3} ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④设该抛物线与坐标轴的交点为A，B，C，若 $△ A B C$ 是等腰三角形，则 $a = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）

11. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(2023 + π)}^{0} =$ ．

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12. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AC是 $⊙ O$ 的直径，点P在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是．

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13. 《孙子算经》第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？现设兽有x个，鸟有y只，则可列方程组为．

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14. 如图，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $C (- 2 ， 2)$ ，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接CD，则 $△ B C D$ 的面积为．

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15. 设 ${(1 - 2 x)}^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} x^{2023}$ ，可以这样求 $a_{0}$ 和 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023}$ 的值：令 $x = 0$ ，则 $a_{0} = {(1 - 2 \times 0)}^{2023} = 1$ ；令 $x = 1$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2023} = {(1 - 2 \times 1)}^{2023} = - 1$ ，这种求代数值的方法叫“赋值法”．运用这种方法，可求得式子 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2023}}{2^{2023}}$ 的值为．

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16. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，H，F分别在边AD，AB，CD上，且 $A E ： E D = 1 ： 2$ ， $H B = H E$ ， $E F ⊥ E H$ ，将 $△ D E F$ 沿EF折叠，点D落在正方形ABCD内一点M，N为线段EF上一动点，过点N作 $N P ∥ F M$ 交EM于点P，则HB的长为， $M N + N P$ 的最小值为．

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三、解答题（本题共8小题，共72分．）

17. 先化简，再求值： $(1 + 3 x) (- 1 + 3 x) - x (5 x - 1) - {(2 x - 1)}^{2}$ ，其中 $x = - \frac{1}{5}$ ．

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18. 关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 2$ ，求m的值．．

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19. 随州文峰塔始建于唐宋年间，前身为“文笔塔”，民间亦称为“文丰塔”．某兴趣小组同学借助无人机航拍测量位于曾都区东城文峰塔广场的文峰塔高度．如图，无人机在距离地面95米的A处，测得该塔底端点B的俯角为27°，然后向塔方向沿水平面飞行50秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为60°．已知无人机的飞行速度为3米/秒．

(1)、则无人机从A处到C处的水平飞行距离为米；

(2)、求文峰塔的高度．（参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.50$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到0.1米）

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20. 数字正在改变人们的生活．某校开展了一次数字科技知识测试，并从中随机抽取部分学生的测试成绩进行统计，绘制了如图所示的不完整的统计表和统计图（测试结果共分四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格）．

测试等级	A优秀	B良好	C及格	D不及格
人数	20	60		140
百分比	5%		45%	m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次参与调查的学生人数为， m的值为；

(2)、扇形统计图中“B良好”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并补全条形统计图；

(3)、本次测试前4名学生中，七、八年级各1人，九年级2人，学校准备从这4名学生中，随机抽取两人报名参加全市创意编程大赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名九年级学生的概率．

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21. 如图，AC为 $⊙ O$ 的直径，B为AC延长线上一点，D为 $⊙ O$ 上一点，且 $∠ B A D = ∠ A B D = 30 °$ ，连接DO并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接BE交 $⊙ O$ 于点M．

(1)、求证：直线BD是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 3$ ， ①求 $⊙ O$ 的半径长；②求弦ME的长．

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22. “五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（ $1 \leq x \leq 31$ ，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：

第x天

5

10

15

20

日销售量y（件）

50

60

70

80

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

(3)、销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？

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23. 【问题提出】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $△ E F C$ 绕点C顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

(1)、【特例探究】若 $A C = B C$ ，将 $△ E F C$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：
∵ $A C = B C$ ， E，F分别为AC，BC的中点，
∴ $C E = C F$ ，
∵ $∠ A C B = ∠ E C F$ ，
∴ $∠ A C E = ∠ B C F$ ，
∴ $△ A C E ≌ △ B C F$ （）
∴AEBF， $∠ C A E = ∠ C B F$ ，又∵ $∠ A N M = ∠ B N C$ ，
∴ $∠ A M N = ∠ B C N = 90 °$ ，
∴AEBM．

(2)、【猜想证明】若 $B C = n A C (n > 1)$ ， $△ E F C$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；

(3)、【拓展运用】若 $A C = 4$ ， $B C = 6$ ，将 $△ E F C$ 绕点C顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ，点 $B (6 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过点C作 $C D ∥ x$ 轴交抛物线于点D，点E是y轴左侧抛物线上一点，若BC恰好平分 $∠ D B E$ ，求直线BE的解析式；

(3)、如图2，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使 $△ P M B$ 是以PM为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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第x天	5	10	15	20
日销售量y（件）	50	60	70	80