四川省广元市利州区2023年中考一模数学试题

试卷更新日期：2023-05-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 数轴上表示数m和 $m - 2$ 的点到原点的距离相等，则m的值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、1 D、 $- 1$

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2. 把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）

A、五棱锥 B、五棱柱 C、六棱锥 D、六棱柱

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot 3 a^{3} = 3 a^{6}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{8}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 $(a + b) (b - a) = b^{2} - a^{2}$

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4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示， $∠ A B C = 25 °$ ，则 $∠ D E F$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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5. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为 $\frac{3}{5}$ ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x + \frac{3}{5} y = 7 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ \frac{3}{5} x + y = 7 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 7 \\ x + \frac{5}{3} y = 10 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 7 \\ \frac{5}{3} x + y = 10 \end{array}$

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6. 如图是小明和小华射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（）

A、小明成绩的方差比小华成绩的方差小 B、小明和小华成绩的众数都是8环 C、小明和小华成绩的中位数都是8环 D、小明和小华的平均成绩相同

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7. 如图，点A、B、C在 $⊙ O$ 上， $∠ A B O = 54 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $27 °$ B、 $30 °$ C、 $36 °$ D、 $54 °$

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8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图像过点C，则k的值为（）

A、4 B、﹣4 C、﹣3 D、3

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 150 °$ ．利用尺规在 $B C$ 、 $B A$ 上分别截取 $B E$ 、 $B F$ ，使 $B E = B F$ ；分别以E、F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点G；作射线 $B G$ 交 $D C$ 于点H．若 $A D = \sqrt{3} + 1$ ，则 $B H$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0$ ）经过点 $(- 1 ， - 1) ， (0 ， 1)$ ，当 $x = - 2$ 时，与其对应的函数值 $y > 1$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②关于x的方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 有两个不等的实数根；③ $a + b + c > 7$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 若式子 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为．

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13. 如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是.

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14. 若 $x^{2} + x = 5 + \sqrt{5}$ ，则x的值是．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 与 $⊙ O$ 相交于A，B两点，且点A在 $x$ 轴上，则图中阴影部分的面积为．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点E是 $B C$ 边上的动点，过点E作 $E F ⊥ A E$ 交 $C D$ 于点F，点G在 $A E$ 上，且 $E G = E F$ ，点M、N分别为 $G F$ 、 $C D$ 的中点，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 计算： $6 s i n 4 5^{∘} - | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8} \times (π - 2023)^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $（ \frac{x - 1}{x - 3} - \frac{x + 1}{x} ） \div \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中x满足 $x^{2} + 2 x - 6 = 0$ ．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．过点D作 $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点E．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $t a n ∠ D C E = \sqrt{3}$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $D E$ 的长．

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20. 自实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下不完整的统计图，扇形统计图指的是各类人数占调查总人数的百分比，请你根据统计图解答下列问题：

(1)、本次调查中，张老师一共调查了名同学．并将上面的条形统计图补充完整；

(2)、若全班有60名学生，请估算出全班是A类学生的人数；

(3)、张老师想从被调查的A类学生和D类学生中各选取一位同学进行结对“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图求出结对互助学习都是男同学的概率．

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21. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．

(1)、若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．

(2)、如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

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22. 如图，一次函数 $y = k x - 2 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $C$ 作 $C B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{△ A B C} = 3$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标及 $m$ 的值；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求一次函数的表达式.

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23. 某商店决定购进A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．

(1)、求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？

(2)、该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，

售价x（元/件）

$50 \leq x \leq 60$

$60 ＜ x \leq 80$

销售量（件）

100

$400 - 5 x$

①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？

②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数少于B型纪念品的件数，但不少于60件．若B型纪念品的售价为30元/件时，求商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，点D是AB的中点，以CD为直径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 分别与AC， $B C$ 交于点E，F，过点 $F$ 作 $⊙ O$ 的切线 $F G$ ，交 $A B$ 于点G.

(1)、求证： $F G ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A C ＝ 6$ ， $B C ＝ 8$ ，求 $F G$ 的长.

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25. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE=∠B．

(1)、如图1，若 $∠ B = ∠ C$ ，求证： $A B \cdot C E = B D \cdot C D$ ；

(2)、如图2，若 $∠ B = 90 °$ ， $A B = B C = 10$ ， $B D = 4$ ，求 $C E$ 的长；

(3)、如图3，若 $∠ B = 2 ∠ C$ ， $A B = 8$ ， $B C = 10$ ，且 $B D = C E$ ，求 $B D$ 的长．

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26. 如图1，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ ，直线l经过B、C两点．

(1)、求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

(2)、点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当 $P M = \frac{1}{2} M N$ 时，求点P的横坐标；

(3)、如图2，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段 $B C$ 上的一个动点，连接 $A P$ ，点Q为线段 $A P$ 上一点，且 $A Q = 3 P Q$ ，连接 $D Q$ ，当 $A Q + D Q$ 的值最小时，直接写出 $D Q$ 的长．

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售价x（元/件）	$50 \leq x \leq 60$	$60 ＜ x \leq 80$
销售量（件）	100	$400 - 5 x$