浙教版数学九年级知识点复习——二次函数、圆（含九下圆知识点）

试卷更新日期：2023-05-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论：
（ $1$ ） $4 a + b = 0$ ；（ $2$ ） $9 a + c > 3 b$ ；（ $3$ ） $8 a + 7 b + 2 c > 0$ ；（ $4$ ）若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ，点 $B (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ ，点 $C (\frac{7}{2} ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ；（ $5$ ）若方程 $a (x + 1) (x - 5) = - 3$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 < 5 < x_{2}$ ．

其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＜0； ②2a-b＝0； ③一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根是-3和1；④当y＞0时，-3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；⑥若点E（-4，y₁），F（-2，y₂），M（3，y₃）是函数图象上的三点，则y₁＞y₂＞y₃ ，其中正确的有（）个

A、5 B、4 C、3 D、2

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ （a，c为常数且 $a < 0$ ）经过 $(1 ， m)$ ，且 $m c < 0$ ，下列结论：① $c > 0$ ；② $a < - \frac{c}{3}$ ；③若关于x的方程 $a x^{2} + 2 a x = p - c (p > 0)$ 有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当 $a \leq x \leq a + 2$ 时，二次函数的最大值为c，则 $a = - 4$ .其中一定正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (- 3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ， ① $b^{2} - 4 a c > 0$ ② $4 a + c < 0$ ③当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ④若 $B (- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ，以上结论中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图像如图，图像过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论：① $4 a + b = 0$ ；② $9 a + c > 3 b$ ；③ $6 a + b + 2 c > 0$ ；④ $5 a + c = 0$ ；⑤当 $x > - 1$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝ $\frac{1}{2}$ AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）²+b²＝2[（a+b）²+a²]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（）

A、5 $\sqrt{13}$ B、18 C、3 $\sqrt{34}$ D、17

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7. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上（ $O A > O B$ ）；以 $A B$ 为直径的圆经过原点O，C是 $\overset{⌢}{A O B}$ 的中点，连结 $A C$ ， $B C$ ．下列结论：① $∠ A C B = 90 °$ ；② $A C = B C$ ；③若 $O A = 4$ ， $O B = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于5；④若 $O A - O B = 4$ ，则点C的坐标是 $(2 ， - 2)$ ，其中正确的结论有（　　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　）

A、一直不变 B、一直减少 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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9. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E. 若 $∠ B A C = ∠ B D C$ ，则下列结论中正确的是（）

① $\frac{A E}{D E} = \frac{B E}{C E}$
② $△ A B E$ 与 $△ D C E$ 的周长比为 $\frac{B E}{C E}$

③ $∠ A D E = ∠ A B C$
④S_△ABE·S_△DCE=S_△ADE·S_△BCE

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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10. 如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（）

A、 $\frac{O G}{M H} = \frac{E G}{E H}$ B、∠EMF＝60° C、当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形 D、当△MFG≌△BCD时， $\frac{S_{△ MHE}}{S_{四边形 ABCD}} = \frac{1}{4}$

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二、填空题

11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴正半轴交于 $A ， B$ 两点，y轴负半轴交于点C.若点 $B （ 4 ， 0 ）$ ，则下列结论中： $①$ $a b c > 0$ ； $②$ $4 a + b > 0$ ； $③$ $M (x_{1} ， y_{1})$ 与 $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ； $④$ 若抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ， m为任意实数，则 $a (m - 3) (m + 3) \leq b (3 - m)$ ； $⑤$ 若 $A B \geq 3$ 则 $4 b + 3 c > 0$ 其中正确结论的个数共有个.

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12. 已知过点 $B (3 ， - 1)$ 的抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{2} x + c$ 与坐标轴交于点 $A$ 、 $C$ 如图所示，连结 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ ，第一象限内有一动点 $M$ 在抛物线上运动，过点 $M$ 作 $A M ⊥ M P$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，当点 $P$ 在点 $A$ 上方，且 $△ A M P$ 与 $△ A B C$ 相似时，点 $M$ 的坐标为.

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13. 如图，函数y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过点(-1，0)，(m，0)，且1<m<2，下列结论：①abc>0；②a+b<0；③若点A(-2，y₁)，B(2，y₂)在抛物线上，则y₁< y₂；④
若1≤c≤2，则a的取值范围是-2<a< $- \frac{1}{2}$ ．其中结论正确的有． (填序号)

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14. 已知，如图所示，矩形 $A B C D$ ， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $F$ 是 $A B$ 边上的一动点.连接 $C F$ ，过 $D$ 作 $D G ⊥ C F$ 垂足为 $G$ 点，交 $B C$ 于 $E$ 点.过A作 $A H ⊥ D E$ ，垂足为 $H$ ，连接 $C H$ .则四边形 $A G C H$ 面积的最大值为.

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15. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = 3 x_{}^{2} - 6 a x + 4 a_{}^{2} + 2 a + 4$ ，其中 $a$ 为实数，当-2≤x≤1时， $y$ 的最小值为4，满足条件的 $a$ 的值为。

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16. 如图，正五边形 $A B C D E$ 的对角线 $A C$ 和 $A D$ 分别交对角线 $B E$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $△ A M N$ 的面积为 $s$ ，则正五边形 $A B C D E$ 的面积为（结果用含 $s$ 的代数式表示）.

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17. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，点 $C (- 4 ， 4)$ ，动点D从A点出发，以每秒1个单位的速度水平向右运动，动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度竖直向上运动，过点A作 $A G ∥ C E$ 交 $C D$ 于点G，当线段 $O G$ 的值最小时，则运动时间t的值为 .

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18. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为6的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 .

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三、解答题

19. 生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）

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20. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1	随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2	为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1	确定水柱的形状	在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2	确定喷灌器的位置	求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3	拟定喷头升降方案	调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．

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21. 如图，已知：关于y的二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (2 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、在y轴上是否存在一点P，使 $△ P B C$ 为直角三角形.若存在，请求出点P的坐标.

(3)、有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 $A B$ 上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时， $△ M N B$ 面积最大，试求出面积.

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22. 已知⊙O的直径为10，点A ，点B ，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D ．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC ， BD ， CD的长；

（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．

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23. 如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示）．

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24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC ，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M ．设点P运动的时间为t（秒）

(1)、用含t的代数式表示线段DM的长度；

(2)、求当点Q落在BC边上时t的值；

(3)、设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；

(4)、当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．

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