2023年中考数学探究性试题复习19 相似

试卷更新日期:2023-05-20 类型:三轮冲刺

一、综合题

  • 1. 已知点O是四边形ABCD内一点,AB=BC,OD=OC,∠ABC=∠DOC=α.

    (1)、如图1,α=60°,探究线段AD与OB的数量关系,并加以证明;
    (2)、如图2,α=120°,探究线段AD与OB的数量关系,并说明理由;
    (3)、结合上面的活动经验探究,请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为(直接写出答案)
  • 2.       
    (1)、【问题呈现】

    如图1,ABCADE都是等边三角形,连接BDCE . 求证:BD=CE

    (2)、【类比探究】

    如图2,ABCADE都是等腰直角三角形,ABC=ADE=90° . 连接BDCE . 请直接写出BDCE的值.

    (3)、【拓展提升】

    如图3,ABCADE都是直角三角形,ABC=ADE=90° , 且ABBC=ADDE=34 . 连接BDCE . 延长CEBD于点F,交AB于点G.求sinBFC的值.

  • 3. 某校数学兴趣学习小组在一次活动中,对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究:

    (1)、发现问题:如图1,在等腰ABC中,AB=AC , 点M是边BC上任意一点,连接AM , 以AM为腰作等腰AMN , 使AM=ANMAN=BAC , 连接CN . 求证:ACN=ABM
    (2)、类比探究:如图2,在等腰ABC中,B=30°AB=BCAC=8 , 点M是边BC上任意一点,以AM为腰作等腰AMN , 使AM=MNAMN=B . 在点M运动过程中,AN是否存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
    (3)、拓展应用:如图3,在正方形ABCD中,点E是边BC上一点,以DE为边作正方形DEFGH是正方形DEFG的中心,连接CH . 若正方形DEFG的边长为8CH=32 , 求CDH的面积.
  • 4.
    (1)、【探究发现】如图,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将AEB沿BE翻折得到BEF , 延长EFCD边于点G.求证:BFGBCG

    (2)、【类比迁移】如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8AB=6 , 将AEB沿BE翻折得到BEF , 延长EFBC边于点G,延长BFCD边于点H,且FH=CH , 求AE的长;

    (3)、【实践创新】如图,RtABC为等腰三角形,ABC=90° , O为斜边AC的中点, M,N为线段AC上的动点,且满足MBN=45° , 设MBO=αNBO=βAB=2 , 证明:tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ.

  • 5.               
    (1)、【操作发现】

    如图1,点M是ABCAC边的中点.

    请你用圆规和无刻度的直尺过点M作BC的平行线MN , 交AB于点N;

    (2)、在(1)的条件下,线段ABAN的数量关系是
    (3)、【类比探究】

    如图2,线段AB射线AC有公共端点A,请你用圆规和无刻度的直尺在线段AB上作一个点N,使ANAB=23

  • 6. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例,具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值.我们知道:如图1,如果BCAC=ACAB , 那么称点C为线段AB的黄金分割点.

    (1)、【问题发现】如图1,请直接写出CBAC的比值是
    (2)、【尺规作黄金分割点】如图2,在RtABC中,C=90°BC=1AC=2 , 则AB= , 在BA上截取BD=BC , 则AD= , 在AC上截取AE=AD , 则AEAC的值为
    (3)、【问题解决】如图3,用边长为4的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABDE得折痕MN , 连接EN , 点A对应点H , 得折痕CE , 试说明:CAB的黄金分割点;
    (4)、【拓展延伸】如图4,正方形ABCD中,M为对角线BD上一点,点N在边CD上,且CN<DN , 当NCD的黄金分割点时,AMB=ANB , 连NM , 延长NMADE , 请用相似的知识求出AEDE的值为
  • 7. 综合与实践:

    问题情境:如图1,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上一点,连接BE , 过点E分别作ACBE的垂线,分别交直线BCCD于点F,G.试猜想线段BFCG的数量关系并加以证明.

    (1)、数学思考:

    请解答上述问题;

    (2)、问题解决:

    如图2,在图1的条件下,将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,其他条件不变.若AB=2BC=3 , 求BFCG的值;

    (3)、问题拓展:

    在(2)的条件下,当点E为AC的中点时,请直接写出CEG的面积.

  • 8.          
    (1)、课本再现

    如图1,在RtABCRtA'B'C'中,C=90°C'=90°ABA'B'=ACA'C'

    求证:RtABCRtA'B'C' . 我们在数学课上探索这一结论时进行了分析:要证RtABCRtA'B'C' , 可设法证BCB'C'=ABA'B'=ACA'C' , 若设ABA'B'=ACA'C'=k , 则只需证BCB'C'=k

    请你根据以上分析,完成证明.

    (2)、知识应用

    如图2,在四边形PMQN中,M=PQN=90°PQ2=PM·PNMQNQ=32 , 求N的度数.

  • 9. B,C是⊙O上的两个定点,A是圆上的动点,0°<BAC<90°BDACCDAB.

    (1)、如图1,如果ABC是等边三角形,求证BD是⊙O的切线;
    (2)、如图2,如果60°<BAC<90°BDCD分别交⊙O于E,F,研究五边形ABEFC的性质;

    ①探索AEAFBC的数量关系,并证明你的结论;

    ②如图3,若⊙O的半径为6,BAC=75° , 求边EF的长;

    ③若AB=xAC=y , 直接写出BECF的数量关系.

  • 10. 综合与探究

    问题情境:

    数学活动课上,老师给出如下基础模型:如图①,已知RtABCACB=90° , 过点C任作一条直线l(不与CACB重合),过点A作ADl于点D,过点B作BEl于点E,当点A、B在直线l同侧时,易证ACDCBE(下列解题可直接用此结论).

    (1)、如图②,当点A、B在直线l异侧时,求证:ACDCBE

    (2)、模型应用:在平面直角坐标系中,已知直线l:y=kx4k(k为常数,k0)与x轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,以AB为边、B为直角顶点作直角三角形ABCtanACB=2 . 若直线l经过点(23) , 当点C在第三象限时,点C的坐标为
    (3)、若点D是函数y=2x(x<0)图象上的点,且BDx轴,当点C在第四象限时,连接CD交y轴于点E,求点C、D的坐标(用含k的式子表示)及BE的长.

  • 11. 课本再现

    如图1,在等边ABC中,E为边AC上一点,DBC上一点,且AE=CD , 连接ADBE相交于点F

    (1)、ADBE的数量关系是ADBE构成的锐角夹角BFD的度数是
    (2)、深入探究:将图1中的AD延长至点G , 使FG=BF , 连接BGCG , 如图2所示.求证:GA平分BGC . (第一问的结论,本问可直接使用)
    (3)、迁移应用:如图3,在等腰ABC中,AB=ACDE分别是边BCAC上的点,ADBE相交于点F . 若BAC=BFD , 且BF=3AF , 求BDCD的值.
  • 12. 矩形ABCD中,ABBCk2(k>1),点E是边BC的中点,连接AE,过点E作AE的垂线EF,与矩形的外角平分线CF交于点F.

    (1)、【特例证明】如图(1),当k=2时,求证:AE=EF;

    小明不完整的证明过程如下,请你帮他补充完整.

    证明:如图,在BA上截取BH=BE,连接EH.

    ∵k=2,

    ∴AB=BC.

    ∵∠B=90°,BH=BE,

    ∴∠1=∠2=45°,

    ∴∠AHE=180°-∠1=135°.

    ∵CF平分∠DCG,∠DCG=90°,

    ∴∠3=12∠DCG=45°.

    ∴∠ECF=∠3+∠4=135°.

    ∴……

    (只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程)

    (2)、【类比探究】如图(2),当k≠2时,求AEEF的值(用含k的式子表示);
    (3)、【拓展运用】如图(3),当k=3时,P为边CD上一点,连接AP,PF,∠PAE=45°,PF=5 , 求BC的长.
  • 13. 回顾:用数学的思维思考

    (1)、如图1,在△ABC中,AB=AC.

    ①BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.

    ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE.求证:BD=CE.

    (从①②两题中选择一题加以证明)

    (2)、猜想:用数学的眼光观察

    经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,D为边AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置,在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题:若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上,BD与CE还相等吗?请解决下面的问题:

    如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上,请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.

    (3)、探究:用数学的语言表达

    如图3,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能,求CF的取值范围;若不能,说明理由.

  • 14. 如图

    问题提出:如图(1),ABC中,AB=ACDAC的中点,延长BC至点E , 使DE=DB , 延长EDAB于点F , 探究AFAB的值.

    (1)、问题探究:
    先将问题特殊化.如图(2),当BAC=60°时,直接写出AFAB的值;
    (2)、再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.
    (3)、问题拓展:
    如图(3),在ABC中,AB=ACDAC的中点,G是边BC上一点,CGBC=1n(n<2) , 延长BC至点E , 使DE=DG , 延长EDAB于点F.直接写出AFAB的值(用含n的式子表示).
  • 15. 如图

     

    (1)、(问题发现)
    如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B、C重合)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE,连结EC,则线段BD与CE的数量关系是 , 位置关系是
    (2)、(探究证明)
    如图2,在Rt△ABC和Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,当点C,D,E在同一直线时,BD与CE具有怎样的位置关系,并说明理由;
    (3)、(拓展延伸)
    如图3,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BC=2CD=4,将△ACD绕顺时针旋转,点C对应点E,设旋转角∠CAE为α(0°<α<360°),当点C,D,E在同一直线时,画出图形,并求出线段BE的长度.