2023年中考数学探究性试题复习19 相似

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．

(1)、如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；

(2)、如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；

(3)、结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答案）

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2.

(1)、【问题呈现】
如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D ， C E$ ．求证： $B D = C E$ ．

(2)、【类比探究】
如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ．连接 $B D ， C E$ ．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】
如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E} = \frac{3}{4}$ ．连接 $B D ， C E$ ．延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，交 $A B$ 于点G．求 $s i n ∠ B F C$ 的值．

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3. 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)、发现问题：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M$ 是边 $B C$ 上任意一点，连接 $A M$ ，以 $A M$ 为腰作等腰 $△ A M N$ ，使 $A M = A N$ ， $∠ M A N = ∠ B A C$ ，连接 $C N$ ．求证： $∠ A C N = ∠ A B M$ ．

(2)、类比探究：如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A B = B C$ ， $A C = 8$ ，点 $M$ 是边 $B C$ 上任意一点，以 $A M$ 为腰作等腰 $△ A M N$ ，使 $A M = M N$ ， $∠ A M N = ∠ B$ ．在点 $M$ 运动过程中， $A N$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

(3)、拓展应用：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ， $H$ 是正方形 $D E F G$ 的中心，连接 $C H$ ．若正方形 $D E F G$ 的边长为 $8$ ， $C H = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ C D H$ 的面积．

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4.

(1)、【探究发现】如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿BE翻折得到 $△ B E F$ ，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于点G.求证： $△ B F G ≅ △ B C G$ ；

(2)、【类比迁移】如图，在矩形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6$ ，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折得到 $△ B E F$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点G，延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点H，且 $F H = C H$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、【实践创新】如图， $R t △ A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 90 °$ ， O为斜边 $A C$ 的中点， M，N为线段 $A C$ 上的动点，且满足 $∠ M B N = 45 °$ ，设 $∠ M B O = α$ ， $∠ N B O = β$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，证明： $t a n (α + β) = \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α \cdot t a n β}$ .

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5.

(1)、【操作发现】
如图1，点M是 $△ A B C$ 中 $A C$ 边的中点．
请你用圆规和无刻度的直尺过点M作 $B C$ 的平行线 $M N$ ，交 $A B$ 于点N；

(2)、在（1）的条件下，线段 $A B$ 与 $A N$ 的数量关系是；

(3)、【类比探究】
如图2，线段 $A B$ 与射线 $A C$ 有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段 $A B$ 上作一个点N，使 $\frac{A N}{A B} = \frac{2}{3}$ ．

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6. 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果 $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点．

(1)、【问题发现】如图1，请直接写出 $C B$ 与 $A C$ 的比值是；

(2)、【尺规作黄金分割点】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，则 $A B =$ ，在 $B A$ 上截取 $B D = B C$ ，则 $A D =$ ，在 $A C$ 上截取 $A E = A D$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为；

(3)、【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B D E$ 得折痕 $M N$ ，连接 $E N$ ，点 $A$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C E$ ，试说明： $C$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(4)、【拓展延伸】如图4，正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为对角线 $B D$ 上一点，点 $N$ 在边 $C D$ 上，且 $C N < D N$ ，当 $N$ 为 $C D$ 的黄金分割点时， $∠ A M B = ∠ A N B$ ，连 $N M$ ，延长 $N M$ 交 $A D$ 于 $E$ ，请用相似的知识求出 $A E ： D E$ 的值为．

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7. 综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E是对角线 $A C$ 上一点，连接 $B E$ ，过点E分别作 $A C ， B E$ 的垂线，分别交直线 $B C ， C D$ 于点F，G．试猜想线段 $B F 和 C G$ 的数量关系并加以证明．

(1)、数学思考：
请解答上述问题；

(2)、问题解决：
如图2，在图1的条件下，将“正方形 $A B C D$ ”改为“矩形 $A B C D$ ”，其他条件不变．若 $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，求 $\frac{B F}{C G}$ 的值；

(3)、问题拓展：
在（2）的条件下，当点E为 $A C$ 的中点时，请直接写出 $△ C E G$ 的面积．

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8.

(1)、课本再现
如图1，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C^{'} = 90 °$ ， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}}$ ，
求证： $R t △ A B C ∽ R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证 $R t △ A B C ∽ R t △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，可设法证 $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}}$ ，若设 $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{A C}{A^{'} C^{'}} = k$ ，则只需证 $\frac{B C}{B^{'} C^{'}} = k$ ．
请你根据以上分析，完成证明．

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $P M Q N$ 中， $∠ M = ∠ P Q N = 90 °$ ， $P Q^{2} = P M · P N$ ， $\frac{M Q}{N Q} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $∠ N$ 的度数．

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9. B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点， $0 ° < ∠ B A C < 90 °$ ， $B D ∥ A C$ ， $C D ∥ A B$ .

(1)、如图1，如果 $△ A B C$ 是等边三角形，求证 $B D$ 是⊙O的切线；

(2)、如图2，如果 $60 ° < ∠ B A C < 90 °$ ， $B D$ ， $C D$ 分别交⊙O于E，F，研究五边形 $A B E F C$ 的性质；
①探索 $A E$ 、 $A F$ 和 $B C$ 的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，若⊙O的半径为6， $∠ B A C = 75 °$ ，求边 $E F$ 的长；

③若 $A B = x$ ， $A C = y$ ，直接写出 $B E$ ， $C F$ 的数量关系.

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10. 综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知 $R t △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，过点C任作一条直线l（不与 $C A 、 C B$ 重合），过点A作 $A D ⊥ l$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ l$ 于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证 $△ A C D ∽ △ C B E$ （下列解题可直接用此结论）．

(1)、如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证： $△ A C D ∽ △ C B E$ ．

(2)、模型应用：在平面直角坐标系中，已知直线l： $y = k x - 4 k$ （k为常数， $k \neq 0$ ）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形 $A B C$ 且 $t a n ∠ A C B = 2$ ．若直线l经过点 $(2 ， - 3)$ ，当点C在第三象限时，点C的坐标为．

(3)、若点D是函数 $y = 2 x (x < 0)$ 图象上的点，且 $B D ∥ x$ 轴，当点C在第四象限时，连接 $C D$ 交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及 $B E$ 的长．

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11. 课本再现
如图1，在等边 $△ A B C$ 中， $E$ 为边 $A C$ 上一点， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A E = C D$ ，连接 $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、 $A D$ 与 $B E$ 的数量关系是， $A D$ 与 $B E$ 构成的锐角夹角 $∠ B F D$ 的度数是．

(2)、深入探究：将图1中的 $A D$ 延长至点 $G$ ，使 $F G = B F$ ，连接 $B G$ ， $C G$ ，如图2所示．求证： $G A$ 平分 $∠ B G C$ ．（第一问的结论，本问可直接使用）

(3)、迁移应用：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $B C$ ， $A C$ 上的点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ．若 $∠ B A C = ∠ B F D$ ，且 $B F = 3 A F$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值．

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12. 矩形ABCD中，

\frac{A B}{B C}

＝

\frac{k}{2}

（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\frac{1}{2}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)、【类比探究】如图（2），当k≠2时，求

\frac{A E}{E F}

的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，

P F = \sqrt{5}

，求BC的长．

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13. 回顾：用数学的思维思考

(1)、如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）

(2)、猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3)、探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

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14. 如图

问题提出：如图（1）， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{A F}{A B}$ 的值.

(1)、问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当 $∠ B A C = 60 °$ 时，直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值；

(2)、再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.

(3)、问题拓展：
如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{C G}{B C} = \frac{1}{n} (n < 2)$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E = D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ .直接写出 $\frac{A F}{A B}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）.

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15. 如图

(1)、（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；

(2)、（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；

(3)、（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．

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