2023年中考数学探究性试题复习15 四边形

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边 $($ 不重复 $)$ 相等的四边形叫做“准菱形”．

如图①，在四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = ∠ C = 90 °$ ，则四边形 $A B C D$ 是“准矩形”；

如图②，在四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = A D$ ， $B C = D C$ ，则四边形 $A B C D$ 是“准菱形”．

(1)、如图，在边长为 $1$ 的正方形网格中， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点 $($ 小正方形的顶点 $)$ 上，请分别在图③、图④中画出“准矩形” $A B C D$ 和“准菱形” $A B C D' . ($ 要求： $D$ 、 $D'$ 在格点上 $)$ ；

(2)、下列说法正确的有； $($ 填写所有正确结论的序号 $)$
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；

②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；

④一组对边平行的“准菱形”是菱形．

(3)、如图⑤，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A C$ 为一边向外作“准菱形” $A C E F$ ，且 $A C = E C$ ， $A F = E F$ ， $A E$ 、 $C F$ 交于点 $D$ ．
①若 $∠ A C E = ∠ A F E$ ，求证：“准菱形” $A C E F$ 是菱形；

②在①的条件下，连接 $B D$ ，若 $B D = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 15 °$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求四边形 $A C E F$ 的面积．

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2. 如图：

(1)、【发现证明】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 边上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $E F = D F + B E$ ．小明发现，当把 $△ A B E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°至 $△ A D G$ ，使 $A B$ 与 $A D$ 重合时能够证明，请你给出证明过程．

(2)、【类比引申】
①如图2，在正方形 $A B C D$ 中，如果点 $E$ ， $F$ 分别是 $C B$ ， $D C$ 延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系（不要求证明）
②如图3，如果点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 延长线上的动点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，则 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系是（不要求证明）

(3)、【联想拓展】如图1，若正方形 $A B C D$ 的边长为6， $A E = 3 \sqrt{5}$ ，求 $A F$ 的长．

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3. 综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ C B E^{'}$ （点A的对应点为点C）．延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点F，连接 $D E$ ．

(1)、猜想证明：
试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；

(3)、解决问题：
如图①，若 $A B = 15 ， C F = 3$ ，请直接写出 $D E$ 的长．

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4.

(1)、【实验】如图①，点 $O$ 为线段 $M N$ 的中点，线段 $P Q$ 与 $M N$ 相交于点 $O$ ，当 $O P = O Q$ 时，四边形 $P M Q N$ 的形状为；
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
其理论依据是．

(2)、【探究】如图②，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 中点，过点 $E$ 作 $A E$ 的垂线交边 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，试猜想 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 三条线段之间的数量关系，并给予证明．

(3)、【应用】如图③，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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5. 如图

(1)、【感知】如图①，将 $▱ A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $C D$ 边上的点F处，得到折痕 $D E$ ，连结 $E F$ ．若 $A D = 4$ ，则四边形 $A E F D$ 的周长为．

(2)、【探究】如图②，将四边形 $A E G D$ 沿GE折叠，点A、D的对应点分别为 $A^{'}$ 、 $D^{'}$ ，点 $A^{'}$ 恰好落在 $C D$ 边上．
求证：四边形 $A E A^{'} G$ 为菱形．

(3)、若 $A B = 6$ ， $C B = 3$ ， $∠ B = 120 °$ ， $C A^{'} = 1$ ，则 $△ A^{'} G D^{'}$ 的面积为．

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6. 综合与探究
在矩形 $A B C D$ 的 $C D$ 边上取一点 $E$ ，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $A D$ 边上的点 $F$ 处．

(1)、如图①，若 $B C = 2 B A$ ，求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、如图②，当 $A B = 5$ ，且 $A F \cdot F D = 10$ 时，求 $E F$ 的长；

(3)、如图③，延长 $E F$ ，与 $∠ A B F$ 的角平分线交于点 $M$ ， $B M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，当 $N F = A N + F D$ 时，请直接写出 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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7. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ D F$ ，则 $C E = D F$ ”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)、【问题探究】如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ ，试猜想 $\frac{E G}{F H} =$ ；

(2)、【知识迁移】如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $B C = n$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，且 $E G ⊥ F H$ ，试猜想 $\frac{E G}{F H}$ 的值，并证明你的猜想；

(3)、【拓展应用】如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $A B$ ， $A D$ 上，且 $C E ⊥ B F$ ，求 $\frac{C E}{B F}$ 的值．

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8. 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)、发现问题：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M$ 是边 $B C$ 上任意一点，连接 $A M$ ，以 $A M$ 为腰作等腰 $△ A M N$ ，使 $A M = A N$ ， $∠ M A N = ∠ B A C$ ，连接 $C N$ ．求证： $∠ A C N = ∠ A B M$ ．

(2)、类比探究：如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A B = B C$ ， $A C = 8$ ，点 $M$ 是边 $B C$ 上任意一点，以 $A M$ 为腰作等腰 $△ A M N$ ，使 $A M = M N$ ， $∠ A M N = ∠ B$ ．在点 $M$ 运动过程中， $A N$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

(3)、拓展应用：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ， $H$ 是正方形 $D E F G$ 的中心，连接 $C H$ ．若正方形 $D E F G$ 的边长为 $8$ ， $C H = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ C D H$ 的面积．

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9. 如图

(1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

(2)、如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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10. 【背景】

如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $A B < A D$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点，折叠矩形 $A B C D$ 使点 $A$ 落在 $M N$ 上的点 $K$ 处，折痕为 $B P$ .

(1)、【操作】用直尺和圆规在图1中的 $A D$ 边上作出点 $P$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、【应用】求 $∠ B K M$ 的度数和 $M K$ 的长；

(3)、如图2，若点 $E$ 是直线 $M N$ 上的一个动点.连接 $E B$ ，在 $E B$ 左侧作等边三角形 $B E F$ ，连接 $M F$ ，则 $M F$ 的最小值是；

(4)、【拓展】如图3，若点 $E$ 是射线 $K M$ 上的一个动点.将 $△ B E K$ 沿 $B E$ 翻折，得 $△ B E T$ ，延长 $C B$ 至 $Q$ ，使 $B Q = K E$ ，连接 $T Q$ .当 $△ B T Q$ 是直角三角形时， $K E$ 的长为多少？请直接写出答案：.

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11. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 7$ ， $B C = 10 .$ 点 $P$ 是 $B C$ 边上的一点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为对称轴作 $△ A B P$ 的轴对称图形 $△ A Q P$ .

(1)、动手操作
当点 $Q$ 正好落在 $A D$ 边上时，在图①中画出 $△ A B P$ 的轴对称图形 $△ A Q P$ ，并判断四边形 $A B P Q$ 的形状是 ▲ ；

(2)、问题解决
如图②，当点 $P$ 是线段 $B C$ 中点，且 $C Q = 2$ 时，求 $A P$ 的长；

(3)、拓展探究
如图③，当点 $P$ 、 $Q$ 、 $D$ 在同一直线上，且 $∠ P Q C = ∠ P Q A$ 时，求 $P Q$ 的长.

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12.

(1)、【问题探究】如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $D C$ 、 $B C$ 上，且 $A E ⊥ D F$ ，求证： $A E = D F$ .

(2)、【知识迁移】如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点E在边 $A D$ 上，点M、N分别在边 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $B E ⊥ M N$ ，求 $\frac{B E}{M N}$ 的值.

(3)、【拓展应用】如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $B C = n$ ，点 $E 、 F$ 分别在边 $A D 、 B C$ 上，点M、N分别在边 $A B$ 、 $C D$ 上，当 $∠ E F C$ 与 $∠ M N C$ 的度数之间满足什么数量关系时，有 $\frac{E F}{M N} = \frac{m}{n}$ ？试写出其数量关系，并说明理由.

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13. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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14. 矩形ABCD中，

\frac{A B}{B C}

＝

\frac{k}{2}

（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\frac{1}{2}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)、【类比探究】如图（2），当k≠2时，求

\frac{A E}{E F}

的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，

P F = \sqrt{5}

，求BC的长．

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15. 【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A D E B$ 、 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $R t △ A B C$ 的三边为一边的正方形．延长 $I H$ 和 $F G$ ，交于点 $L$ ，连接 $L C$ 并延长交 $D E$ 于点 $J$ ，交 $A B$ 于点 $K$ ，延长 $D A$ 交 $I L$ 于点 $M$ ．

(1)、证明： $A D = L C$ ；

(2)、证明：正方形 $A C H I$ 的面积等于四边形 $A C L M$ 的面积；

(3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．

(4)、【迁移拓展】
如图2，四边形 $A C H I$ 和 $B F G C$ 分别是以 $△ A B C$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $A B$ 下方是否存在平行四边形 $A D E B$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $A C H I$ 、 $B F G C$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $A D E B$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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16. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ，EP与正方形的外角 $△ D C G$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接CP，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B = 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

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