2023年中考数学探究性试题复习14 三角形

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、综合题

  • 1. 如图：

    (1)、如图1，若点A ， B在直线l的同侧，在直线上找一点P ， 使AP+BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B' ， 连接AB'与直线l的交点就是所求的点P ． 如图2，在等边三角形ABC中，点E是AB边的中点，AD是高，且AD=2 ， 在AD上找一点P ， 使BP+PE的值最小．

    作法如下：作点B关于直线AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P ， 求BP+PE的最小值．

    (2)、实践运用：如图3，在四边形ABCD中，点B与点D关于直线AC对称，对角线AC与BD相交于点O ， AC=8 ， 点P是对角线AC上的一个动点，AB=BC=CD=AD=BD ， 点M是AB的中点，求PM+PB的最小值；
    (3)、拓展延伸：如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P ， 使∠APB=∠APD ． （保留作图痕迹，不必写出作法）

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  • 2. 如图：

    (1)、【发现证明】

    如图1，在正方形ABCD中，点E ， F分别是BC ， CD边上的动点，且∠EAF=45° ， 求证：EF=DF+BE ． 小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG ， 使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．

    (2)、【类比引申】

    ①如图2，在正方形ABCD中，如果点E ， F分别是CB ， DC延长线上的动点，且∠EAF=45° ， 则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ， BE ， DF之间的数量关系（不要求证明）

    ②如图3，如果点E ， F分别是BC ， CD延长线上的动点，且∠EAF=45° ， 则EF ， BE ， DF之间的数量关系是（不要求证明）

    (3)、【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=35 ， 求AF的长．

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  • 3. 【阅读理解】

    三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180° ．

    如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180° ， 点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD=180° ， 所以∠CBD=∠A+∠C ． 从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

    (1)、【初步应用】

    如图③，点D，E分别是△ABC的边AB ， AC延长线上一点，

    若∠A=60° ， ∠CBD=110° ， 则∠ACB=°；

    (2)、若∠A=60° ， ∠CBD=110° ， 则∠CBD+∠BCE=°；
    (3)、若∠A=m° ， 则∠CBD+∠BCE=° ．
    (4)、【拓展延伸】

    如图④，点D，E分别是△ABC的边AB ， AC延长线上一点，

    若∠A=60° ， 分别作∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=°；

    (5)、若∠A=60° ， 分别作∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且∠CBO=13∠CBD ， ∠BCO=13∠BCE ， 则∠BOC=°；
    (6)、若∠A=m° ， 分别作∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且∠CBO=1n∠CBD ， ∠BCO=1n∠BCE ， 则∠BOC=° ．

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  • 4.            
    (1)、综合与实践

    问题情境：如图1，在Rt△ABC中，AC=BC=2 ， ∠ACB=90° ， D，E分别是AC ， BC的中点，连接DE ．

    如图2，将△CDE绕着点C逆时针旋转a° ， 连接BE和AD ， 小明发现AD=BE ， BE⊥AD ， 请你证明该结论．

    (2)、猜想探究：

    如图3，将△CDE绕着点C逆时针旋转a°(0<α<90) ， 此时恰好有CE⊥BE ， 连接AD ， 延长BE ， 交AD于点F，试猜想四边形CDFE的形状，并说明理由．

    拓展探究：

    (3)、如图4，将△CDE绕着点C逆时针旋转a°(90<α<270) ， 直接写出四边形AEDB的面积的最大值．

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  • 5. 阅读与思考．

    纯几何法验证勾股定理我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达·芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法．

    如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ， CD⊥AB于点D，先证明△ACD∽△ABC ， 可得AC2=AD⋅AB ， 再证明△BCD∽△BAC ， 可得BC2=BD⋅AB ， 两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法．

    阅读下列材料，并完成相应的任务．

    (1)、根据材料中的方法，请写出完整的证明过程．
    (2)、如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若a=3 ， b=10 ， 求该矩形的面积．

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  • 6.       
    (1)、【问题呈现】

    如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD ， CE ． 求证：BD=CE ．

    (2)、【类比探究】

    如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90° ． 连接BD ， CE ． 请直接写出BDCE的值．

    (3)、【拓展提升】

    如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90° ， 且ABBC=ADDE=34 ． 连接BD ， CE ． 延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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  • 7. 如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C=∠AED=90° ．

    (1)、观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE ， BD的延长线交CE于点F．当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，

    ①BDCE的值为；

    ②∠BFC的度数为度；

    (2)、类比探究：如图3，继续旋转△ADE ， 点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

    (3)、拓展延伸：若AE=DE=2 ， AC=BC=10 ， 当CE所在的直线垂直于AD时，请直接写出线段BD的长．

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  • 8. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90° ， ∠B=∠E=30° ， AC=AF=6 ， 用这两个直角三角形研究图形的变换.

     

    (1)、【翻折】如图1，将△DEF沿线段AB翻折，连接CF ， 下列对所得四边形ACBF的说法正确的是.

    ①AB平分∠CBF、∠CAF ， ②AB、CF互相平分，③S四边形ACBF=12AB⋅CF ， ④A、C、B、F四点共圆.

    (2)、【平移】
    如图2，将△DEF沿线段AB向右平移，使D点移到AB的中点，连接CD、CF、FB ， 请猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
    (3)、【旋转】如图3，将△DEF绕点C(F)逆时针方向旋转，使AC∥ED ， 连接AE、AD ， 则旋转角为°，AD=cm.

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  • 9. 如图

     

    (1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
    (2)、如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
    (3)、【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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  • 10. 【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

    (1)、小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
    (2)、【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
    (3)、【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6 ， AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

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  • 11. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， AE⊥EP ，EP与正方形的外角 △DCG 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

    (1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
    (2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， △AEP 是等腰直角三角形， ∠AEP=90° ，连接CP，可以求出 ∠DCP 的大小，请你思考并解答这个问题．
    (3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， △AEP 是等腰直角三角形， ∠AEP=90° ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 △ADP 周长的最小值．当 AB=4 时，请你求出 △ADP 周长的最小值．

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  • 12. 【经典回顾】

    梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

    在△ABC中，∠ACB=90° ， 四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG ， 交于点L ， 连接LC并延长交DE于点J ， 交AB于点K ， 延长DA交IL于点M ．

    (1)、证明：AD=LC；
    (2)、证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
    (3)、请利用（2）中的结论证明勾股定理．
    (4)、【迁移拓展】

    如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB ， 使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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  • 13. 回顾：用数学的思维思考

    (1)、如图1，在△ABC中，AB＝AC．

    ①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．

    ②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

    （从①②两题中选择一题加以证明）

    (2)、猜想：用数学的眼光观察

    经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：

    如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

    (3)、探究：用数学的语言表达

    如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

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  • 14. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
    (1)、我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

    公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

    公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

    公式③：(a−b)2=a2−2ab+b2

    公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

    图1对应公式 ， 图2对应公式 ， 图3对应公式 ， 图4对应公式；

    (2)、《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

    (3)、如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90° ， D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S1 ， △ABD与△AEH的面积之和为S2.

    ①若E为边AC的中点，则S1S2的值为      ▲      ；

    ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

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  • 15. 如图

    问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC ， D是AC的中点，延长BC至点E ， 使DE=DB ， 延长ED交AB于点F ， 探究AFAB的值.

    (1)、问题探究：
    先将问题特殊化.如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出AFAB的值；
    (2)、再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
    (3)、问题拓展：
    如图（3），在△ABC中，AB=AC ， D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC=1n(n<2) ， 延长BC至点E ， 使DE=DG ， 延长ED交AB于点F.直接写出AFAB的值（用含n的式子表示）.

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  • 16. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 CDE ，按如图1的方式摆放， ∠ACB=∠ECD=90° ，随后保持 △ABC 不动，将 △CDE 绕点C按逆时针方向旋转 α （ 0°<α<90° ），连接 AE ， BD ，延长 BD 交 AE 于点F，连接 CF .该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

    【初步探究】

    (1)、如图2，当 ED∥BC 时，则 α= ；
    (2)、如图3，当点E，F重合时，请直接写出 AF ， BF ， CF 之间的数量关系：；
    (3)、如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.
    (4)、如图5，在 △ABC 与 △CDE 中， ∠ACB=∠DCE=90° ，若 BC=mAC ， CD=mCE （m为常数）.保持 △ABC 不动，将 △CDE 绕点C按逆时针方向旋转 α （ 0°<α<90° ），连接 AE ， BD ，延长 BD 交 AE 于点F，连接 CF ，如图6.试探究 AF ， BF ， CF 之间的数量关系，并说明理由.

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  • 17. 综合与实践

     

    (1)、知识再现
    如图1 ， Rt△ABC中，∠ACB=90° ， 分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3 ． 当S1=36 ， S3=100时，S2= ．
    (2)、问题探究

    如图，Rt△ABC中，∠ACB=90° ．

    如图2 ， 分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3 ， 则S1、S2、S3之间的数量关系是 ．
    (3)、如图3 ， 分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6 ， 试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
    (4)、实践应用
    如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH ， △ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN ， GH、MN相交于点P ． 求证：S△PHN=S四边形PMFG；

    (5)、如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3 ． 若AB=4 ， 柱体的高h=8 ， 直接写出V1+V2的值．

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