2023年中考数学探究性试题复习11 一次函数与反比例函数

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、一次函数

1. 【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.
【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.

(1)、【特例辨别】
下列函数：① $y = - \frac{1}{2} x$ ， ② $y = x - 1$ ， ③ $y = \frac{5}{x}$ ， ④ $y = x^{4}$ ， ⑤ $y = 2 x^{2} + 3 x$ ， ⑥ $y = \sqrt{x}$ ，其中是三级函数的是.（填写所有符合要求的函数的序号）

(2)、【运算与变化】
将二级函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为；也可对 $y = \frac{1}{x}$ 进行乘法运算 $\overset{\times 2}{\to}$ 所得衍生函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象与 $y = \frac{1}{x}$ 的图象的关系为.

(3)、对于函数 $y = 3 x$ 的运算与变化，下列说法中正确的是（）
① $y = 3 x$ 是二级函数；
②将 $y = 3 x$ 再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；
③将 $y = 3 x$ 再除以2所得衍生函数的图象是把函数 $y = 3 x$ 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍；
④将 $y = 3 x$ 先减3再平方与先平方再减3所得衍生函数是同一个函数.

A、③④ B、①②③ C、①②④ D、①②③④

(4)、【知识应用】请写出一级函数 $y = x$ 如何对变量x进行运算得到衍生函数 $y = \frac{k}{x^{2} - m}$ （ $k$ 、 $m$ 是常数， $k \neq 0$ ， $m > 0$ ），并写出衍生函数的两条不同类型的性质.

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2. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点 $(1 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 的图像的“等值点”.

(1)、分别判断函数 $y = x + 1$ ， $y = x^{2} - x$ 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、设函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ ， $y = - x + b$ 的图像的“等值点”分别为点 $A$ ， $B$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ .当 $△ A B C$ 的面积为3时，求 $b$ 的值；

(3)、若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图像记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图像记为 $W_{2}$ ，当 $W_{1}$ ， $W_{2}$ 两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出 $m$ 的取值范围.

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得 $∠ M T N = 90^{\circ}$ ，且 $M T = N T$ ，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．

(1)、如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点．（填“A”“B”“C”或“D”）

(2)、如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．

(3)、如图②，若一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标

(4)、若一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．

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4.

(1)、模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA；

(2)、模型应用：
①已知直线y＝ $\frac{3}{4}$ x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x-5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.

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5. 定义： $y = {\begin{cases} k x + b (x > m) \\ - k x + b (x \leq m) \end{cases}$ 叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”．

(1)、已知“分边折叠函数” $y = {\begin{cases} 3 x - 6 (x > 4) \\ - 3 x - 6 (x \leq 4) \end{cases}$
①直接写出该函数与y轴的交点坐标；

②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；

(2)、已知“分边折叠函数” $y = {\begin{matrix} k x + k & (x > m) \\ - k x + k & (x \leq m) \end{matrix}$ 的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为 $\sqrt{5} \cdot | m |$ ，则k的值为．

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二、反比例函数

6. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如 $(- 3 ， - 3)$ 、 $(1 ， 1)$ 、 $(2023 ， 2023)$ 都是“不动点”，已知双曲线 $y = \frac{9}{x}$

(1)、下列说法错误的是（）

A、直线 $y = x$ 的图象上有无数个“不动点” B、函数 $y = \frac{- 1}{x}$ 的图象上没有“不动点” C、直线 $y = x + 1$ 的图象上有无数个“不动点” D、函数 $y = x^{2}$ 的图象上有两个“不动点”

(2)、求双曲线 $y = \frac{9}{x}$ 上的“不动点”；

(3)、若抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ （ $a$ 、 $c$ 为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当 $a > 1$ 时，求 $c$ 的取值范围．
②如果 $a = 1$ ，过双曲线 $y = \frac{9}{x}$ 图象上第一象限的“不动点”作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，若抛物线上有四个点到 $l$ 的距离为 $m$ ，直接写出 $m$ 的取值范围．

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7. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当 $A B$ 的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图1， $A B ⊥ l_{1}$ ，线段 $A B$ 的长度称为点A与直线 $l_{2}$ 之间的距离，当 $l_{2} ∥ l_{1}$ 时，线段 $A B$ 的长度也是 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离.

(1)、【应用】
如图2，在等腰 $R t △ B A C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 边上一点，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E.若 $A B = 6$ ， $A D = 4$ ，则 $D E$ 与 $B C$ 之间的距离是；

(2)、如图3，已知直线 $l_{3} ： y = - x + 4$ 与双曲线 $C_{1} ： y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于 $A (1 ， m)$ 与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线 $C_{1}$ 之间的距离是；

(3)、【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过 $80 m$ 时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于 $80 m$ .现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线 $l_{4}$ 的函数表达式为 $y = - x$ ，小区外延所在双曲线 $C_{2}$ 的函数表达式为 $y = \frac{2400}{x} (x > 0)$ ，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？

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8. 【探究函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质】

(1)、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量x的取值范围是；

(2)、下列四个函数图象中，函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象大致是；

(3)、对于函数 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求当 $x > 0$ 时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵ $x > 0$ ， ∴ $y = x + \frac{1}{x}$ $= {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$ $= {(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} +$ ．
∵ ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} \geq 0$ ， ∴ $y \geq$ ．

(4)、【拓展说明】
若函数 $y = \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x} (x > 0)$ ，求y的取值范围．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标系原点，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，其中 $c o s ∠ O B C = \frac{4}{5}$ ， $O C = 3$ .已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $B C$ 边上的中点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、猜想 $Δ O C D$ 的面积与 $Δ O B E$ 的面积之间的关系，请说明理由.

(3)、若点 $P (x ， y)$ 在该反比例函数的图象上运动（不与点 $D$ 重合），过点 $P$ 作 $P R ⊥ y$ 轴于点 $R$ ，作 $P Q ⊥ B C$ 所在直线于点 $Q$ ，记四边形 $C Q P R$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的解析式并写出 $x$ 的取值范围.

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10. 已知一次函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x + 2$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (2 ， m)$ 、B两点，交y轴于点C.

(1)、求反比例函数的表达式和点B的坐标；

(2)、过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；

(3)、我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形 $A P B Q$ 是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标 $x_{Q}$ 的值.

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