2023年中考数学探究性试题复习10 一元二次方程

已知x²+y²+8x-6y+25=0，求x，y的值． ．

解：将25拆分为16和9，可得(x²+8x+16)+(y²-6y+9)=0，

即(x+4)²+(y-3)²=0，

∴．x+4=0，y-3=0，

∴x=-4，y=3．

我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．

例如：$x^2+2x-3=\left(x^2+2x+1\right)-4={\left(x+1\right)}^2-4=\left(x+1+2\right)\left(x+1-2\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$；

$x^2+2x+6=x^2+2x+1+5={\left(x+1\right)}^2+5$ ， 则当$x\text{=}-\text{1}$时，$x^2+2x+6$有最小值，最小值是5．

根据材料用配方法解决下列问题．

为解方程${\left(x^2-2\right)}^2-11\left(x^2-2\right)+18=0$ ， 我们可以将$x^2-2$视为一个整体，然后可设$x^2-2=y$ ， 则${\left(x^2-2\right)}^2=y^2$ ， 于是原方程可转化为$y^2-11y+18=0$ ， 解此方程，得$y_1=2$ ， $y_2=9$ ．

当$y_1=2$时，$x^2-2=2$ ， $x^2=4$ ， ∴$x=\pm 2$；

当$y_2=9$时，$x^2-2=9$ ， $x^2=11$ ， ∴$x=\pm \sqrt{11}$ ．

∴原方程的解为$x_1=2$ ， $x_2=-2$ ， $x_3=-\sqrt{11}$ ， $x_4=\sqrt{11}$ ．

以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．

解决问题

材料1：对于一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ ， 如果方程有两个实数根为$x_1$ ， $x_2$ ， 那么$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根分别为m，n，求$m^{2}n+m{n}^2$的值.

解：$\text{∵}$一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根分别为m，n，

$\therefore m+n=1$ ， $mn=-1$ ， 则$m^{2}n+m{n}^2=mn\left(m+n\right)=-1\times 1=-1$.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．

例如，我们可以通过配方法，求代数式$x^2+6x+5$的最小值，解题过程如下：

解：∵$x^2+6x+5=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2-3^2+5=\mathrm{(}x+3{\mathrm{)}}^2-4$ ，

又∵$\mathrm{(}x+3{\mathrm{)}}^2\ge 0$ ， ∴当$x=-3$时，$x^2+6x+5$有最小值为$-4$ ．

请根据上述方法，解答下列问题：

【解决问题】

例如，把二次三项式$x^2-2x+3$进行配方.

解：$x^2-2x+3=x^2-2x+1+2=\left(x^2-2x+1\right)+2={\left(x-1\right)}^2+2$.

我们定义：一个整数能表示成$a^2+b^2$（$a$ ， $b$是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”.理由：因为$5=2^2+1^2$.再如，$M=x^2+2xy+2y^2={\left(x+y\right)}^2+y^2$（$x$ ， $y$是整数），所以$M$也是“雅美数”.

例如：①我们可以将代数式$a^2+6a+10$进行变形，其过程如下

$a^2+6a+10=\left(a^2+6a\right)+10=\left(a^2+6a+9\right)+10-9=\mathrm{(}a+3{\mathrm{)}}^2+1$.

$\text{∵}\mathrm{(}a+3{\mathrm{)}}^2\ge 0$ ，

$\therefore \mathrm{(}a+3{\mathrm{)}}^2+1\ge 1$.

因此，该式有最小值1.

②已知：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0$将其变形，$a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2=0$ ，

$a^2+2a\mathrm{(}b+c\mathrm{)}+\mathrm{(}b+c{\mathrm{)}}^2=0$ ， 可得$\mathrm{(}a+b+c{\mathrm{)}}^2=0$.

任务：

材料1：若一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$的两个根为$x_1$ ， $x_2$则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

材料2：已知实数$m$ ， $n$满足$m^2-m-1=0$ ， $n^2-n-1=0$ ， 且$m\ne n$ ， 求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.

解：由题知$m$ ， $n$是方程$x^2-x-1=0$的两个不相等的实数根，根据材料1得$m+n=1$ ， $mn=-1$ ， 所以$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{{\left(m+n\right)}^2-2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$

根据上述材料解决以下问题：

请解决下列问题：

请阅读以上材料，回答下列问题：

材料1

为了解方程${\left(x^2\right)}^2-13x^2+36=0$ ， 如果我们把$x^2$看作一个整体，然后设$y=x^2$ ， 则原方程可化为$y^2-13y+36=0$ ， 经过运算，原方程的解为$x_{1\mathrm{，}2}=\pm 2$ ， $x_{3\mathrm{，}4}=\pm 3$ ． 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足$m^2-m-1=0$ ， $n^2-n-1=0$ ， 且$m\ne n$ ， 显然m，n是方程$x^2-x-1=0$的两个不相等的实数根，由书达定理可知$m+n=1$ ， $mn=-1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ， 则x₁＋x₂＝ $-\frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：