2023年中考数学探究性试题复习9 二元一次方程组

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 当 $m$ ， $n$ 都是实数，且满足 $2 m - n = 6$ 时，我们称 $Q (m - 1 ， n + 1)$ 为巧妙点.

(1)、若 $A (m - 1 ， 5)$ 是巧妙点，则 $m =$ ，巧妙点A（， 5）；

(2)、判断点 $P (3 ， 1)$ 是否为巧妙点，并说明理由.

(3)、已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 4 \\ x - y = 2 a \end{array}$ ，当 $a$ 为何值吋，以方程组的解为坐标的点 $B (x ， y)$ 是巧妙点？

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2. 已知关于x，y的方程 $k x - y = k - 1$ .

(1)、当 $k = 1$ 和 $k = 2$ 时，所得方程组成的：方程组是 ${\begin{array}{l} x - y = 0 ， \\ 2 x - y = 1 ， \end{array}$ 它的解是.

(2)、当 $k = 1$ 和 $k = - 2$ 时，求所得方程组成的方程组，并求出该方程组的解.

(3)、猜想：无论 $k$ 取何值，关于x，y的方程 $k x - y$ $= k - 1$ 一定有一个解是.

(4)、猜想：无论 $k$ 取何值，关于x，y的方程 $k x - y$ $= 3 k - 4$ 一定有一个解是.

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3. 对于未知数为 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组，如果方程组的解 $x$ ， $y$ 满足 $| x - y | = 1$ ，我们就说方程组的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”.

(1)、方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 26 \\ 4 x - 2 y = 4 \end{array}$ 的解 $x$ 与 $y$ $($ 项“具有”或“不具有” $)$ “邻好关系”；

(2)、若方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 6 \\ 4 x + y = 6 m \end{array}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，求 $m$ 的值；

(3)、未知数为 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + a y = 7 \\ 2 y - x = 5 \end{array}$ ，其中 $a$ 与 $x$ ， $y$ 都是正整数，该方程组的解 $x$ 与 $y$ 是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出 $a$ 的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.

(4)、【拓展】若一个关于 $x$ 的方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 的解为 $x = b - a$ ，则称之为“成章方程” $.$ 如： $a + \frac{1}{2} = 0$ 的解为 $x = - \frac{1}{2}$ ，而 $- \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1$ ； $2 x + \frac{4}{3} = 0$ 的解为 $x = - \frac{2}{3}$ ，而 $- \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - 2$ .
请直接写出关于 $y$ 的“成章方程”的解： $a (a - b) y + 2 = (b + \frac{1}{2}) y$ .
若关于 $x$ 的方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 为“成章方程”，请直接写出关于 $y$ 的方程的解： $a (a - b) y + 2 = (b + \frac{1}{2}) y$ .

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4. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组 ${\begin{array}{l} 32 x + 35 y = 38 ① \\ 30 x + 33 y = 36 ② \end{array}$ 时，由于 $x ， y$ 的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采用下面的解法则比较简单：
①-②得 $2 x + 2 y = 2$ ，所以 $x + y = 1$ ③
③ $\times 35$ -①得 $3 x = - 3$ ，
解得 $x = - 1$ ，从而 $y = 2$
所以原方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ .

(1)、请你运用上述方法解方程组： ${\begin{array}{l} 2016 x + 2018 y = 2020 ① \\ 2019 x + 2021 y = 2023 ② \end{array}$

(2)、猜测关于 $x 、 y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} m x + (m + 1) y = m + 2 \\ n x + (n + 1) y = n + 2 \end{array} (m \neq n)$ 的解是什么？请从方程组的解的角度加以验证.

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5. 【方法体验】已知方程组 ${\begin{array}{l} 2018 x - 2017 y = 20 ， & ① \\ 2019 x + 2018 y = 500 ． & ② \end{array}$ 求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y + 3 z = 10 \\ 4 x + 3 y + 2 z = 15 \end{array}$ ，则3x+y–z=      ▲      .
【探究升级】已知方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y + 3 z = 10 \\ 4 x + 3 y + 2 z = 15 \end{array}$ .求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2•（x+2y+3z）+（–1）•（4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组 ${\begin{array}{l} m + 4 n = - 2 \\ 2 m + 3 n = 1 \\ 3 m + 2 n = 4 \end{array}$ ，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z=      ▲      （x+2y+3z）+      ▲      （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为      ▲      时，8a+3b–2c为定值，此定值是      ▲      .（直接写出结果）

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6. 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如： $m = 3507$ ，因为 $3 + 7 = 2 \times (5 + 0)$ ，所以 $3507$ 是“共生数”； $m = 4135$ ，因为 $4 + 5 \neq 2 \times (1 + 3)$ ，所以 $4135$ 不是“共生数”．

(1)、判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由：

(2)、对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F (n) = \frac{n}{3}$ ．求满足 $F (n)$ 是偶数的所有共生数．

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7. 对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

(1)、计算：F（243），F（617）；

(2)、若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.

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8. 【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为 $| A B |$ .如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则 $| A B | = | 4 - 1 | = 3$ 或 $| A B | = | 1 - 4 | = 3$ ；

若点A，B表示的数分别是 $- 1$ ， 4则 $| A B | = | 4 - (- 1) | = 4 + 1 = 5$ 或 $| A B | = | - 1 - 4 | = | - 5 | = 5$ ；

若点A，B表示的数分别是 $- 1$ ， $- 4$ ，则 $| A B | = | (- 1) - (- 4) | = | - 1 + 4 | = 3$ 或 $| A B | = | - 4 - (- 1) | = | - 4 + 1 | = 3$ ．

【归纳】若点A，B表示的数分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 则 $| A B | = | x_{1} - x_{2} |$ 或 $| A B | = | x_{2} - x_{1} |$ ．

【知识迁移】

(1)、如图1，点A，B表示的数分别是 $- 4.5$ ， b且 $| A B | = 3$ ，则 $b =$ ；

(2)、如图2，点A，B表示的数分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若把 $A B$ 向左平移 $| A B |$ 个单位，则点A与 $- 50$ 重合，若把 $A B$ 向右平移 $| A B |$ 个单位，则点B与70重合，那么 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ ；

(3)、【拓展应用】
一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.

(4)、结合几何意义，求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + | x - 4 | + | x - 5 |$ 最小值.

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9. 我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P_k称为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P₂（2×3+4，3﹣2×4）即P₂（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”

(1)、已知点P₃（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；

(2)、已知点P₂是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；

(3)、已知点P（x，y）的“k阶益点”是P_k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．

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10. 【阅读理解】

在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易．

（1）解方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 (x + y) = 3 ① \\ x + y = 1 ② \end{array}$

解：（1）把②代入①得： $x + 2 \times 1 = 3 .$ 解得： $x = 1$ ．

把 $x = 1$ 代入②得： $y = 0$ ．

所以方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array}$

（2）已知 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y + 2 z = 10 ① \\ 9 x + 7 y + 5 z = 25 ② \end{array}$ ，求 $x + y + z$ 的值．

解：（2） $① \times 2$ 得： $8 x + 6 y + 4 z = 20 ③$

$② - ③$ 得； $x + y + z = 5$

(1)、【类比迁移】若

{\begin{array}{l} x + y + z = 18 \\ 3 x + 5 y + 7 z = 28 \end{array}

，则

2 x + 3 y + 4 z =

．

(2)、运用整体代入的方法解方程组

{\begin{array}{l} 2 x - y - 5 = 0 ① \\ \frac{2 x - y + 7}{6} + 3 y = 11 ② \end{array}

．

(3)、【实际应用】“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买39瓶消毒液、12支测温枪、3套防护服共需2070元；打折后购买52瓶消毒液、16支测温枪、4套防护服共需2350元，比不打折时少花了多少钱？

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11. 在解决“已知有理数x、y、z满足方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y - z = 5 ① \\ x - 2 y + 3 z = 1 ② \end{array}$ ，求 $4 x + 13 y - 9 z$ 的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由① $\times a$ 得： $2 a x + 3 a y - a z = 5 a$ ③，由② $\times b$ 得： $b x - 2 b y + 3 b z = b$ ④．
③＋④得： $(2 a + b) x + (3 a - 2 b) y + (- a + 3 b) z = 5 a + b$ ⑤．
当 $(2 a + b) x + (3 a - 2 b) y + (- a + 3 b) z = 4 x + 13 y - 9 z$ 时，
即 ${\begin{array}{l} 2 a + b = 4 \\ 3 a - 2 b = 13 \\ - a + 3 b = - 9 \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} a = 3 \\ b = - 2 \end{array}$ ．
∴① $\times 3 +$ ② $\times (- 2)$ ，得 $4 x + 13 y - 9 z = 5 \times 3 + 1 \times (- 2) = 13$ ．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：

(1)、若有理数a、b满足 $(3 x + 4 y + 2 z) \times a + (x + 6 y + 5 z) \times b = 12 x + 2 y - 5 z$ ，求a、b的值；

(2)、母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？

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12. 阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
解方程组 ${\begin{array}{l} 27 x + 26 y = 25 ① \\ 25 x + 24 y = 23 ② \end{array}$ 时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举

解：①-②，得 $2 x + 2 y = 2$ ，即 $x + y = 1$ ． ③

②-③×24，得 $x = - 1$ ．

把 $x = - 1$ 代入③，解得 $y = 2$ ．故原方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ．

(1)、请利用上述方法解方程组 ${\begin{array}{l} 19 x + 21 y = 23 \\ 11 x + 13 y = 15 \end{array}$ ．

(2)、猜想并写出关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a x + (a - m) y = a - 2 m \\ b x + (b - m) y = b - 2 m \end{array}$ 的解，并加以检验．

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13. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 $3 x - y = 5$ ， $2 x + 3 y = 7$ ，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．本题常规思路是将 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②联立组成方程组，解得 $x$ 、 $y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①＋②×2可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 4 \\ x + 2 y = 5 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ， $x + y =$ ；

(2)、试说明在关于x、y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - 5 y = 3 a \end{array}$ 中，不论a取什么实数， $x + y$ 的值始终不变；

(3)、某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？

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14. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 $① - ②$ 可得 $x - 4 y = - 2$ ，由 $① + ② \times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{matrix}$ ，则 $x - y =$ ；

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.

(3)、对于实数x、y，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ .

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15. 阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程 $3 x + 5 y = 30$ 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由 $3 x + 5 y = 30$ ，得 $y = \frac{30 - 3 x}{5} = 6 - \frac{3}{5} x$ （ $x$ 、 $y$ 为正整数）．要使 $6 - \frac{3}{5} x$ 为正整数，则 $\frac{3}{5} x$ 为正整数，可知 $x$ 为5的倍数，从而 $x = 5$ ，代入 $y = 6 - \frac{3}{5} \times 5 = 3$ ．所以 $3 x + 5 y = 30$ 的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 3 \end{array}$ ．

(1)、请你直接写出方程 $4 x + 3 y = 24$ 的正整数解；

(2)、若 $\frac{12}{a - 4}$ 为自然数，则求出满足条件的正整数 $a$ 的值；

(3)、关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 8 \\ 2 y + k x = 7 \end{array}$ 的解是正整数，求整数 $k$ 的值．

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