2023年中考数学探究性试题复习8 一元一次方程

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、填空题

1. 一般情况下 $\frac{a}{2}$ ＋ $\frac{b}{3}$ ＝ $\frac{a + b}{2 + 3}$ 不成立，但有数可以使得它成立.例如a＝b＝0.我们称使得 $\frac{a}{2}$ ＋ $\frac{b}{3}$ ＝ $\frac{a + b}{2 + 3}$ 成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为（a，b）.若（a，2）为“相伴数对”，则a的值为.

查看试题解析
2. 对于任意四个有理数 $a ， b ， c ， d$ 可以组成两个有理数对 $(a ， b)$ 与 $(c ， d)$ .我们规定： $(a ， b) ★ (c ， d) = b c - a d$ .例如： $(1 ， 2) ★ (3 ， 4) = 2 \times 3 - 1 \times 4 = 6 - 4 = 2$ .当满足等式 $(- 7 ， 2 x - 1) ★ (- 2 ， x) = 29$ 时， $x$ 的值为.

查看试题解析
3. 在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程 $2 x - 1 = 3$ 与方程 $x + 5 = 3 x + 1$ $($ 填“是”或“不是” $)$ 同解方程；若关于 $x$ 的两个方程 $2 x = 4$ 与 $m x = m + 1$ 是同解方程， $m =$ ；若关于 $x$ 的两个方程 $2 x = a + 1$ 与 $3 x - a = - 2$ 是同解方程， $a =$ ．

查看试题解析

二、综合题

4. 定义：若a+b=2，则称a与b是关于2的平衡数．

(1)、3与是关于2的平衡数，7-x与是关于2的平衡数． (填一个含x的代数式)

(2)、若a=x²-4x-1，b=x²-2(x²-2x-1)+1，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．

(3)、若c=kx+1，d=x-3，且c与d是关于2的平衡数，若x为正整数，求非负整数k的值．

查看试题解析
5. 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，依此类推，第n个数记为 $a_{n}$ （n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 8$ ， $a_{5} = 10$ .规定运算 $s u m (a_{1} ： a_{n}) = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n}$ .即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中， $s u m (a_{1} ： a_{3}) = 2 + 4 + 6 = 12$ .

(1)、已知一列数1， $- 2$ ， 3， $- 4$ ， 5， $- 6$ ， 7， $- 8$ ， 9， $- 10$ ，则 $a_{3} =$ ， $s u m (a_{1} ： a_{10}) =$ .

(2)、已知这列数1， $- 2$ ， 3， $- 4$ ， 5， $- 6$ ， 7， $- 8$ ， 9， $- 10$ ， …，按照规律可以无限写下去，则 $a_{2022} =$ ， $s u m (a_{1} ： a_{2022}) =$ .

(3)、在（2）的条件下否存在正整数n使等式 $| s u m (a_{1} ： a_{n}) | = 2022$ 成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由.

查看试题解析
6. 已知一列，数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …，具有以下规律： $a_{2 n + 1} = a_{n}$ ， $a_{2 n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ .
例：若 $a_{0} = 1$ ，则 $a_{1} = a_{2 \times 0 + 1} = a_{0} = 1$ ， $a_{2} = a_{2 \times 0 + 2} = a_{0} + a_{1} = 2 a_{0} = 2$ ，

$a_{3} = a_{2 \times 1 + 1} = a_{1} = a_{0} = 1$ ， $a_{4} = a_{2 \times 1 + 2} = a_{1} + a_{2} = 3 a_{0} = 3$ ，

$a_{5} = a_{2 \times 2 + 1} = a_{2} = 2 a_{0} = 2$ ， …

请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.

(1)、若 $a_{0} = - 2$ ，求下列两个问题.
① $a_{3} =$ ， $a_{6} =$ .

②在数轴上点A所表示的数为 $a_{3}$ ，点B所表示的数为 $a_{9}$ ，求线段AB的长.

(2)、已知 $| a_{9} - 3 | + | a_{13} + 2 | = 8$ ，求 $a_{0}$ 的值.

查看试题解析
7. 阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 $a + b = a \times b$ ，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为 $(a ， b)$ .
例如： $2 + 2 = 2 \times 2$ ， $\frac{1}{2} + (- 1) = \frac{1}{2} \times (- 1)$ ， $3 + \frac{3}{2} = 3 \times \frac{3}{2}$ ，
则称数对 $(2 ， 2)$ ， $(\frac{1}{2} ， - 1)$ ， $(3 ， \frac{3}{2})$ 是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：

(1)、下列数对中，“和积等数对”是 $($ 填序号 $)$ ；
① $(- \frac{2}{3} ， 2)$ ； ② $(\frac{5}{4} ， 5)$ ； ③ $(- 1 ， 2)$ .

(2)、如果 $(x ， 4)$ 是“和积等数对”，请求出x的值；

(3)、如果 $(m ， n)$ 是“和积等数对”，那么m=（用含 $n$ 的代数式表示）.

查看试题解析
8. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离 $A B = | a - b |$ ，线段AB的中点表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．
【知识应用】

如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为－2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空：
①A，C两点之间的距离 $A C =$ ，线段BC的中点表示的数为．

②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为．

(2)、若点M为PA的中点，当t为何值时， $M B = \frac{1}{2}$ ．

(3)、【拓展提升】
在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为－4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时， $H K = 3$ ．

查看试题解析
9. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“牛牛”数；“牛牛”数的作用：
若x＞0，则[x]＝x-2；若x＜0，则[x]＝x+2，规定[0]＝0
例：[1]＝1-2＝-1，[-2]＝-2+2＝0．

(1)、求[ $\frac{3}{2}$ ]，[-1]的值；

(2)、已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b-a）³-4a+4b的值．

(3)、解方程：[2x]+[x+1]＝1．

查看试题解析
10. 已知 $a ， b$ 为不相等的实数，且 $a ， b$ 均不为 $0$ ，现定义有序实数对 $(a ， b)$ 的“真诚值”为： $d (a ， b) = {\begin{array}{l} a b^{2} - a (a > b) \\ b a^{2} - b (a < b) \end{array}$ ，如数对 $(3 ， 2)$ 的“真诚值”为： $d (3 ， 2) = 3 \times 2^{2} - 3 = 9$ ，数对 $(- 5 ， - 2)$ 的“真诚值”为： $d (- 5 ， - 2) = (- 2) \times {(- 5)}^{2} - (- 2) = - 48$ .

(1)、根据上述的定义填空： $d (- 3 ， 4) =$ ， $d (3 ， - 2) =$ ；

(2)、数对 $(a ， 2)$ 的“真诚值” $d (a ， 2) = 8$ ，求 $a$ 的值.

查看试题解析
11. 如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程 $x - 3 = 0$ 的解是 $x = 3$ ，方程 $x - 1 = 0$ 的解是 $x = 1$
所以：方程 $x - 3 = 0$ 是方程 $x - 1 = 0$ 的“2—后移方程”．

(1)、判断方程 $2 x - 3 = 0$ 是否为方程 $2 x - 1 = 0$ 的k—后移方程（填“是”或“否”）；

(2)、若关于x的方程 $2 x + m + n = 0$ 是关于 x 的方程 $2 x + m = 0$ 的“2—后移方程”，求n的值

(3)、当 $a \neq 0$ 时，如果方程 $a x + b = 1$ 是方程 $a x + c = 1$ 的“3—后移方程”求代数式 $6 a + 2 b - 2 (c + 3)$ 的值．

查看试题解析
12. 阅读下面的材料：我们知道，在数轴上， $| a |$ 表示有理数 $a$ 对应的点到原点的距离，同样的道理， $| a - 2 |$ 表示有理数 $a$ 对应的点到有理数2对应的点的距离，例如， $| 5 - 2 | = 3$ ，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：

(1)、请用上面的方法计算数轴上有理数-9对应的点到有理数3对应的点的距离；

(2)、填空： $| a - 1 |$ 表示与理数 $a$ 对应的点与有理数对应的点的距离；如果 $| a - 1 | = 3$ ，那么有理数 $a$ 的值是；

(3)、填空：如果 $| a - 1 | + | a - 6 | = 7$ ，那么有理数 $a$ 的值是．

(4)、是否存在有理数 $a$ ，使等式 $| a - 1 | + | a - 6 |$ 的结果等于4？如果存在，请直接写出 $a$ 的值；如果不存在，请说明原因．

查看试题解析
13. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x²+x-1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a²+a-1.当x＝3时，f（3）＝3²+3-1＝11.

(1)、已知f（x）＝x²-2x+3，求f（1）的值.

(2)、已知f（x）＝mx²-2x-m，当f（-3）＝m-1时，求m的值.

(3)、已知f（x）＝kx²-ax-bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（-2）＝-2，求a，b的值.

查看试题解析
14. 阅读理解：在解形如 $3 | x - 2 | = | x - 2 | + 4$ 这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解.移项得 $3 | x - 2 | - | x - 2 | = 4$ ， $2 | x - 2 | = 4$ ，
$| x - 2 | = 2$ ， $x - 2 = \pm 2$ ， $x = 4$ 或 $x = 0$ .
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分 $x < 2$ 和 $x \geq 2$ 两种情况讨论：
①当 $x < 2$ 时，原方程可化为 $- 3 (x - 2) = - (x - 2) + 4$ ，解得 $x = 0$ ，符合 $x < 2$ ；
②当 $x \geq 2$ 时，原方程可化为 $3 (x - 2) = (x - 2) + 4$ ，解得 $x = 4$ ，符合 $x \geq 2$ .
$∴$ 原方程的解为 $x = 0$ 或 $x = 4$ .
解题回顾：本解法中2为 $x - 2$ 的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了 $x < 2$ 和 $x \geq 2$ 两部分，所以分 $x < 2$ 和 $x \geq 2$ 两种情况讨论.
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：

(1)、解方程： $| x - 3 | + 8 = 3 | x - 3 |$

(2)、解方程： $| 2 - x | - 3 | x + 1 | = x - 9$

查看试题解析
15. 定义：若整数k的值使关于x的方程 $\frac{x + 4}{2} + 1 = k x$ 的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.

(1)、判断当 $k = 1$ 时是否为方程 $\frac{x + 4}{2} + 1 = k x$ 的“友好系数”，写出判断过程；

(2)、方程 $\frac{x + 4}{2} + 1 = k x$ “友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由.

查看试题解析
16. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程 $2 x - 1 = 3$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”.

(1)、方程 $4 x - (x + 5) = 1$ 与方程 $- 2 y - y = 3$ 是“美好方程”吗？请说明理由；

(2)、若关于x的方程 $\frac{x}{2} + m = 0$ 与方程 $3 x - 2 = x + 4$ 是“美好方程”，求m的值；

(3)、若关于x方程 $2 x - n + 3 = 0$ 与 $x + 5 n - 1 = 0$ 是“美好方程”，求n的值.

查看试题解析
17. 数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号 $f (x)$ 来表示，例如 $f (x) = x^{2} + 3 x - 5$ ，并把x等于某数时多项式的值用f（某数）来表示，例如 $x = 1$ 时多项式 $x^{2} + 3 x - 5$ 的值记为 $f (1) = 1^{2} + 3 \times 1 - 5 = - 1$ .

(1)、若 $f (x) = 2 x - 3$ ， ①求 $f (- 1)$ 的值；②若 $f (x) = 7$ ，求x的值

(2)、若 $g (x) = | x - 2 |$ ， $h (x) = | x + 3 |$ ，试探究 $g (x) + h (x)$ 的最小值，并指出此时x的取值范围.

查看试题解析
18. 探究题：阅读下列材料，规定一种运 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如 $| \begin{array}{l} 2 3 \\ 4 5 \end{array} | = 2 \times 5 - 4 \times 3 = 10 - 12 = - 2$ ，再如 $| \begin{array}{l} x & x - 3 \\ 3 & - 2 \end{array} | = - 2 x - 3 (x - 3) = - 5 x + 9$ ，按照这种运算的规定，请解答下列问题：

(1)、 $| \begin{array}{l} 1 - 3 \\ 3 - 2 \end{array} | =$ .（只填结果）；

(2)、若 $| \begin{array}{l} x + 8 x - 1 \\ 3 2 \end{array} | = 0$ ，求x的值.（写出解题过程）

查看试题解析
19. 东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x₁ ， x₂ ， x₃ ，称为数列x₁ ， x₂ ， x₃ ，计算|x₁|， $\frac{| x_{1} + x_{2} |}{2}$ ， $\frac{| x_{1} + x_{2} + x_{3} |}{3}$ ，将这三个数的最小值称为数列x₁ ， x₂ ， x₃的最佳值．例如对于数列2，−1，3，因为 $| 2 | = 2$ ， $\frac{| 2 + (- 1) |}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ， $\frac{| 2 + (- 1) + 3 |}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ，所以数列2，−1，3的最佳值为 $\frac{1}{2}$ ．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为 $\frac{1}{2}$ ；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为 $\frac{1}{2}$ ．根据以上材料，回答下列问题：

(1)、数列−5，−4，3的最佳值为

(2)、将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；

(3)、将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．

查看试题解析