2023年中考数学探究性试题复习7 二次根式

第1个等式：$\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$

第2个等式：$\sqrt{4-\frac{4}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$

第3个等式：$\sqrt{9-\frac{9}{4}}=3\sqrt{\frac{3}{4}}$

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

即：$\{\begin{array}{l}a-b>0\text{，}\text{则}a>b\hfill \\ a-b=0\text{，}\text{则}a=b\hfill \\ a-b<0\text{，}\text{则}a<b\hfill \end{array}$；

例如：比较$\sqrt{19}-2$与2的大小.

∵$\sqrt{19}-2-2=\sqrt{19}-4$   又∵$\sqrt{16}<\sqrt{19}<\sqrt{25}$   则$4<\sqrt{19}<5$

∴$\sqrt{19}-2-2=\sqrt{19}-4>0$ ，

∴$\sqrt{19}-2>2$.

请根据上述方法解答以下问题：

已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ， 求$2a^2-8a+1$的值，他是这样解答的：

∵$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$ ，

∴$a-2=-\sqrt{3}$ ，

∴${\left(a-2\right)}^2=3$ ， $a^2-4a+4=3$ ，

∴$a^2-4a=-1$.

∴$2a^2-8a+1=2\left(a^2-4a\right)+1=2\times \left(-1\right)+1=-1$.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ， 求$2a^2-8a+1$的值．他们是这样解答的：

∵$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$

∴$a-2=-\sqrt{3}$

∴${\left(a-2\right)}^2=3$即$a^2-4a+4=3$

∴$a^2-4a=-1$

∴$2a^2-8a+1=2\left(a^2-4a\right)+1=2\times \left(-1\right)+1=-1$ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\times \left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{2}+1$

所以$a-1=\sqrt{2}$

所以${\left(a-1\right)}^2=2$ ， 所以$a^2-2a+1=2$

所以$a^2-2a=1$ ， 所以$3a^2-6a=3$ ， 所以$3a^2-6a-1=2$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ， 求$2a^2-8a+1$的值.他是这样解答的：

∵$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\mathrm{(}2+\sqrt{3}\mathrm{)}\mathrm{(}2-\sqrt{3}\mathrm{)}}=2-\sqrt{3}$ ，

∴$a-2=-\sqrt{3}$.

∴$\mathrm{(}a-2{\mathrm{)}}^2=3\mathrm{，}{a}^2-4a+4=3$.

∴$a^2-4a=-1$.

∴$2a^2-8a+1=2\mathrm{(}{a}^2-4a\mathrm{)}+1=2\times \mathrm{(}-1\mathrm{)}+1=-1$.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

若设$a+b\sqrt{2}={\left(m+n\sqrt{2}\right)}^2=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$（其中$a$、$b$、$m$、$n$均为整数），则有$a=m^2+2n^2$ ， $b=2mn$.这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

例：化简$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}$ ．

解：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{1}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}=\sqrt{2}-1$

请回答下列问题．

如：$5+2\sqrt{6}=\left(2+3\right)+2\sqrt{2\times 3}={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$8+2\sqrt{7}=\left(1+7\right)+2\sqrt{1\times 7}=1^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2+2\times 1\times \sqrt{7}={\left(1+\sqrt{7}\right)}^2$

例如化简：$\sqrt{3\pm 2\sqrt{2}}$ ，

因为$3=1+2$且$2=1\times 2$ ，

$\therefore 3\pm 2\sqrt{2}=\mathrm{(}\sqrt{1}{\mathrm{)}}^2+\mathrm{(}\sqrt{2}{\mathrm{)}}^2\pm 2\sqrt{1}\times \sqrt{2}\therefore \sqrt{3\pm 2\sqrt{2}}=\mathrm{|}1\pm \sqrt{2}\mathrm{|}$ ，

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$的形式，且能找到$m$ ， $n\mathrm{(}m>0\mathrm{，}n>0\mathrm{)}$使得$m+n=a$ ， 且$m\cdot n=b$ ， 那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3}+1}=$$\frac{2\mathrm{(}\sqrt{3}-1\mathrm{)}}{\mathrm{(}\sqrt{3}+1\mathrm{)}\mathrm{(}\sqrt{3}-1\mathrm{)}}=$$\frac{2\mathrm{(}\sqrt{3}-1\mathrm{)}}{\mathrm{(}\sqrt{3}{\mathrm{)}}^2-1}=$$\frac{2\mathrm{(}\sqrt{3}-1\mathrm{)}}{2}=$$\sqrt{3}-1$以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求$a^2+b^2$ ． 我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则$\mathrm{ }{a}^2+b^2=\mathrm{(}a+b{\mathrm{)}}^2-2ab=x^2-2y=4+6=10$ ． 这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2$\sqrt{2}$＝（1+$\sqrt{2}$）² ． 善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b$\sqrt{2}$＝（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b$\sqrt{2}$＝m²+2n²+2$\sqrt{2}$mn．∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：