2023年中考数学探究性试题复习6 分式的混合运算

试卷更新日期：2023-05-20 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即 $A - B = A B$ ，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如 $\frac{1}{x + 1}$ 与 $\frac{1}{x + 2}$ ，
解： $∵ \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$\frac{1}{x + 1} \times \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ ，
$∴ \frac{1}{x + 2}$ 是 $\frac{1}{x + 1}$ 的“关联分式”．

(1)、【解决问题】已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，则 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．

(2)、和谐小组成员在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为B，
则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times B$ ，
$∴ (\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) B = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ，
$∴ B = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式 $\frac{a - b}{2 a + 3 b}$ 的“关联分式”．

(3)、【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式 $\frac{y}{x}$ 的“关联分式”：．

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2. “ $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，例如： $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ .

(1)、计算 $| \begin{matrix} a + b & a - b \\ \frac{1}{2 a^{2} b} & \frac{1}{2 a^{2} b} \end{matrix} |$ ；

(2)、求等式 $| \begin{array}{l} 2 & \frac{1}{1 - x} \end{array} | = 1$ 中x的值.

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3. 阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如： $\frac{4}{x + 3}$ ， $\frac{x + 1}{x^{2}}$ 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如 $\frac{x + 2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ 这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

例如： $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) + 3}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$ ；

又如： $\frac{2 x^{2} - 3 x + 3}{x - 1} = \frac{2 {(x - 1)}^{2} + x + 1}{x - 1} = \frac{2 {(x - 1)}^{2} + (x - 1) + 2}{x - 1}$

$= 2 (x - 1) + 1 + \frac{2}{x - 1} = 2 x - 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

(1)、分式 $\frac{2 x^{2}}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）﹔

(2)、将假分式 $\frac{3 x + 1}{x - 1}$ 化为带分式；

(3)、如果分式 $\frac{8 x^{2} + 16 x + 3}{2 x + 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的整数 $x$ 的值.

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4. 材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如： $\frac{10}{7} = 1 + \frac{3}{7} = 1 \frac{3}{7}$ .
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如： $\frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$ .
$\frac{a + 2}{a - 1} = \frac{(a - 1) + 3}{a - 1} = 1 + \frac{3}{a - 1}$ .
材料二：为了研究字母a和 $\frac{1}{a}$ 分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{a}$
…
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{2}$
$- 1$
无意义
1
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
…
请根据上述材料完成下列问题：

(1)、把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： $\frac{a + 2}{a} =$ ； $\frac{a + 1}{a - 2} =$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时.随着a的增大，分式 $\frac{a + 2}{a}$ 的值（填“增大”或“减小”）；

(3)、当 $a > - 2$ 时，随着a的增大，分式 $\frac{2 a + 5}{a + 2}$ 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.

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5. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ ；
立方差公式： $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ .
根据材料和已学知识解决下列问题

(1)、因式分解： $a^{3} - 8$ ；

(2)、先化简，再求值： $(\frac{3 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} - 8}) \div \frac{2}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ .

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6. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 $M - N = M N$ ，则称分式N是分式M的“关联分式”．

(1)、已知分式 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ ，试说明 $\frac{2}{a^{2} + 1}$ 是 $\frac{2}{a^{2} - 1}$ 的“关联分式”；

(2)、小聪在求分式 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 的“关联分式”为 $N$ ，则 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \times N$ ，
∴ $(\frac{1}{x^{2} + y^{2}} + 1) N = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ ， ∴ $N = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1}$ ．
请你仿照小聪的方法求分式 $\frac{x + y}{2 x - 3 y}$ 的“关联分式”．

(3)、①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{a}{b - a}$ 的“关联分式”：．
②若 $\frac{n - 2}{m x + m^{2} + n}$ 是 $\frac{m + 2}{m x + n^{2}}$ 的“关联分式”，则 $m + n$ 的值为．

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7. 【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知 $x \neq 0$ ，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，
所以 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ ，
故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ ．

(1)、上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = - 2$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 5 x^{2} + 1}$ 的值．

(2)、【拓展延伸】
已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{5}$ ，求 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值．

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8. 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c = \frac{1}{2} [（ a - b ）^{2} + （ b - c ）^{2} + （ a - c ）^{2}]$
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

(1)、请你说明这个等式的正确性；

(2)、若 $a = 2014$ ， $b = 2015$ ， $c = 2016$ ，你能很快求出 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值；

(3)、已知实数x，y，z，a满足 $x + a^{2} = 2014$ ， $y + a^{2} = 2015$ ， $z + a^{2} = 2016$ ，且 $x y z = 36$ ．求代数式 $\frac{x}{y z} + \frac{y}{x z} + \frac{z}{x y} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$ 的值．

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9. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 是“和谐分式”．

(1)、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\frac{x + 3}{3}$ ② $\frac{x - 5}{x}$ ③ $\frac{x - 1}{x + 2}$ ④ $\frac{x + 1}{x^{2}}$

(2)、请将“和谐分式” $\frac{x^{2} + 6 x + 3}{x + 3}$ 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；

(3)、应用：先化简 $(x - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x + 1}{x^{2} + 6 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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10. 在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\frac{x + 1}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如 $\frac{3}{x - 1}$ ， $\frac{- 3 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
$\frac{x + 1}{x - 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) + 2}{x - 1}$ ＝1+ $\frac{2}{x - 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ＝ $\frac{x^{2} - 1 + 1}{x + 1}$ ＝ $\frac{(x - 1) (x + 1) + 1}{x + 1}$ ＝x﹣1+ $\frac{1}{x + 1}$ .
参考上面的方法解决下列问题：

(1)、将分式 $\frac{x + 6}{x + 2}$ 化为带分式；

(2)、求分式 $\frac{23 - 9 n}{8 - n}$ 的最大值；（其中n为正整数）

(3)、已知分式 $\frac{2 t + 3}{t + 2}$ 的值是整数，求t的整数值.

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11. 阅读材料：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} \cdot x_{2} =$ ．

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $m$ 、 $n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数 $s$ 、 $t$ 满足 $2 s^{2} - 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} - 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} + \frac{1}{t}$ 的值．

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12. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是分式（填“真”或“假”）；

(2)、 $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 将假分式化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{3 x - 2}{x + 1}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值.

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13. 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 $\frac{4}{x + 2}$ ， $\frac{3 x^{2}}{x^{3} － 4 x}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x + 1}{x － 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， $\frac{x + 1}{x － 1}$ = $\frac{(x - 1) + 2}{x － 1}$ =1＋ $\frac{2}{x － 1}$ ， $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2 - 5}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2}{x + 1}$ + $\frac{- 5}{x + 1}$ = 2＋ $\frac{- 5}{x + 1}$ ．

(1)、将假分式 $\frac{4 x － 5}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；

(2)、将假分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ = a＋m＋ $\frac{n}{a － 1}$ ，求m、n的值；并直接写出当整数a为何值时，分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 为正整数；

(3)、自然数A是 $\frac{10^{18} + 2022}{10^{9} + 2}$ 的整数部分，则A的数字和为．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）

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14. 根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法.
例：k为何值时，多项式 $x^{3} + 3 x^{2} - 23 x + k$ 有一个因式是 $x + 1$ ?
解：设它的另一个因式为 $x^{2} + a x + b$ （a，b为常数），
则 $x^{3} + 3 x^{2} - 23 x + k$
$= (x + 1) (x^{2} + a x + b)$
$= x^{3} + a x^{2} + b x + x^{2} + a x + b$
$= x^{3} + (a + 1) x^{2} + (a + b) x + b$
比较两边的系数，得 ${\begin{array}{l} a + 1 = 3 \\ a + b = - 23 \\ k = b \end{array}$ ，解得 $k = - 25$

(1)、已知多项式 $2 x^{2} - 7 x + m$ 有一个因式是 $x - 5$ ，求m的值；

(2)、已知 $\frac{2 x - 3}{x^{2} + x} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x}$ ，其中A，B为常数，求 $A - B$ 的值.

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a	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$\frac{1}{a}$	…	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	无意义	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	…